Question

Sqrt(x)*(x^4+2).Найти проиводную только с объяснением

Answer 1

Воспользуемся формулой производной произведения:
$( \sqrt{x} )'(x^4+2)+ \sqrt{x} (x^4+2)'= \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot (x^4+2)+4x^3 \sqrt{x}=\\ \\ \\ = \dfrac{x^4+2+8x^4}{2 \sqrt{x} } = \dfrac{9x^4+2}{2 \sqrt{x} }$

Другая запись

$\displaystyle \frac{d \sqrt{x} }{dx} (x^4+2)+ \sqrt{x} \cdot \frac{d(x^4+2)}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x} } \cdot (x^4+2)+4x^3 \sqrt{x}=\\ \\ \\ = \dfrac{x^4+2+8x^4}{2 \sqrt{x} } = \dfrac{9x^4+2}{2 \sqrt{x} }$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = sqrt(x) * (x^4 + 2), мы можем использовать правило производной произведения функций. Правило гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции и второй функции, плюс произведение первой функции и производной второй функции.

Шаг 1: Найдем производную первой функции

Функция f(x) = sqrt(x) является произведением функций g(x) = x^0.5 и h(x) = x. Производная функции g(x) равна g'(x) = 0.5 * x^(-0.5), а производная функции h(x) равна h'(x) = 1.

Шаг 2: Найдем производную второй функции

Функция f(x) = x^4 + 2 является суммой функций p(x) = x^4 и q(x) = 2. Производная функции p(x) равна p'(x) = 4 * x^3, а производная функции q(x) равна q'(x) = 0.

Шаг 3: Применим правило производной произведения функций

Производная функции f(x) = sqrt(x) * (x^4 + 2) будет равна произведению производной первой функции и второй функции, плюс произведение первой функции и производной второй функции.

f'(x) = (g'(x) * h(x)) + (g(x) * h'(x))

Подставим значения производных, которые мы нашли ранее:

f'(x) = (0.5 * x^(-0.5) * (x^4 + 2)) + (sqrt(x) * 4 * x^3)

Упростим выражение:

f'(x) = 0.5 * x^(-0.5) * (x^4 + 2) + 4 * x^(3.5)

Таким образом, производная функции f(x) = sqrt(x) * (x^4 + 2) равна 0.5 * x^(-0.5) * (x^4 + 2) + 4 * x^(3.5).