Question

Найдите значения выражения Log₂ctg60°+log₂sin60° 20 баллов

Answer 1

$log_2\;ctg60^\circ +log_2\; sin60^\circ =log_2\frac{1}{\sqrt3}+log_2\frac{\sqrt3}{2}=\\\\=\underbrace {log_21}_{0}\underbrace {-log_2\sqrt {3}+log_2\sqrt3}_{0}-\underbrace {log_22}_{1}=0-1=-1$

$\star \; \; ctg60^\circ =\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}\; ,\; \; \; sin60^\circ= \frac{\sqrt3}{2} \; \; \star$

Answer 2

Для решения данной задачи использовать формулы тригонометрии и свойства логарифмов.

Начнем с выражения log₂ctg60°. Для начала определим ctg60°. Тангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, поэтому ctgθ = 1/tgθ. Значит, ctg60° = 1/tg60°. Тангенс 60° равен √3, поэтому с помощью этого значения найдем ctg60°: ctg60° = 1/√3.

Теперь рассмотрим второе выражение log₂sin60°. Значение синуса 60° равно √3/2, поэтому log₂sin60° = log₂(√3/2).

Теперь объединим два полученных выражения: log₂ctg60° + log₂sin60° = log₂(1/√3) + log₂(√3/2).

Свойство логарифма loga(b*c) = loga(b) + loga(c), можно записать как loga(bc) = loga(b) + loga(c). Применив это свойство, получим:

log₂(1/√3) + log₂(√3/2) = log₂((1/√3) * (√3/2)).

(1/√3) * (√3/2) = (1/2) * (1) = 1/2.

Теперь экспонентируем обе части равенства по основанию 2:

2^(log₂((1/√3) * (√3/2))) = 2^(1/2).

2^(1/2) = √2.

Таким образом, значение выражения log₂ctg60° + log₂sin60° равно √2.