Question

Докажите, что при любых значениях букв верно равенство:(х – у)(х + у) – (а – х + у)(а – х – у) – а(2х – а) =0

Answer 1

$x^{2} - y^{2}-((a-x) ^{2}- y^{2} )-2ax+ a^{2} =0$
$x^{2} - y^{2}-(a-x) ^{2} + y^{2}-2ax+ a^{2}=0$
$x^{2} - a^{2}+2ax- x^{2} -2ax+ a^{2}=0$
$0=0$ Верно при любых значениях переменных

Answer 2

Для доказательства равенства выражения, заменим все вхождения y на -y и приведем подобные члены:

(х - у)(х + у) - (а - х - у)(а - х - у) - а(2х - а) = 0

Раскроем скобки:

х^2 - у^2 - (а^2 - 2ах - 2ау + х^2 + у^2 - 2ху) - 2ах + а^2 = 0

Сократим подобные члены и упростим:

х^2 - у^2 - а^2 + 2ах + 2ау - х^2 - у^2 + 2ху - 2ах + а^2 = 0

Расположим члены в правильном порядке:

х^2 - х^2 + а^2 - а^2 - у^2 - у^2 + 2ах - 2ах + 2ау + 2ху = 0

Упростим дальше:

0 + 0 - 2у^2 + 2ау + 2ху = 0

Факторизуем и вынесем общий множитель:

2(у^2 - ау - ху) = 0

Таким образом, выражение равно нулю при любых значениях букв х и у, а значит равенство доказано.