Question

Ставлю 80 баллов. Помогите! Лучник стреляет в дракона, у него в колчане есть 8 стрел, вероятность того, что он попадет = 5/7, а промахнется = 2/7 соответственно. Чтобы убить дракона нужно попасть в него не менее 3-х раз. С какой вероятностью он убьет дракона?

Answer 1

Вероятность поражения цели при одном выстреле - $\frac{5}{7}$
Производится 8 выстрелов.
Нужно найти вероятность поражения хотя бы 3 раз.
Итак. Производится 8 независимых испытаний. У каждого испытания 2 варианта : промах или попадание( $\frac{5}{7}$ ).
Решаем по формуле Бернулли:
n = 8
m = 3
p = $\frac{5}{7}$ ≈ 0,7
q = 1 - p = $\frac{2}{7}$

Формулы Бернулли (см. рис.) + формула Бернулли с твоими подставленными числами

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать биномиальное распределение.

В данном случае, чтобы убить дракона, лучнику необходимо попасть в него не менее 3-х раз. Значит, нам нужно посчитать вероятность получить 3, 4, 5, 6, 7 или 8 попаданий из 8 возможных выстрелов.

Формула для расчета вероятности биномиального распределения имеет вид:

P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где: P(k) - вероятность получить k попаданий, C(n, k) - число сочетаний из n по k, p - вероятность попадания, n - общее число выстрелов.

Для нашей задачи: p = 5/7 - вероятность попадания, n = 8 - общее число выстрелов.

Теперь посчитаем вероятности для каждого количества попаданий:

P(3) = C(8, 3)

Answer 3

Probability of Killing the Dragon

To calculate the probability of the archer killing the dragon, we need to consider the different possible outcomes. The archer can either hit the dragon or miss it with each shot. The archer needs to hit the dragon at least 3 times to kill it.

Given that the probability of hitting the dragon is 5/7 and the probability of missing is 2/7, we can calculate the probability of killing the dragon using the binomial probability formula.

The binomial probability formula is:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Where: - P(X=k) is the probability of getting exactly k successes - n is the number of trials (number of shots in this case) - k is the number of successes (number of hits in this case) - p is the probability of success (probability of hitting the dragon) - (1-p) is the probability of failure (probability of missing the dragon) - C(n, k) is the binomial coefficient, which represents the number of ways to choose k successes from n trials

In this case, we want to calculate the probability of getting 3 or more hits out of 8 shots. Let's calculate it step by step.

Step 1: Calculate the probability of getting exactly 3 hits

Using the binomial probability formula, we have:

P(X=3) = C(8, 3) * (5/7)^3 * (2/7)^(8-3)

Calculating this expression, we get:

P(X=3) ≈ 0.164

Step 2: Calculate the probability of getting exactly 4 hits

Using the binomial probability formula, we have:

P(X=4) = C(8, 4) * (5/7)^4 * (2/7)^(8-4)

Calculating this expression, we get:

P(X=4) ≈ 0.274

Step 3: Calculate the probability of getting exactly 5 hits

Using the binomial probability formula, we have:

P(X=5) = C(8, 5) * (5/7)^5 * (2/7)^(8-5)

Calculating this expression, we get:

P(X=5) ≈ 0.273

Step 4: Calculate the probability of getting exactly 6 hits

Using the binomial probability formula, we have:

P(X=6) = C(8, 6) * (5/7)^6 * (2/7)^(8-6)

Calculating this expression, we get:

P(X=6) ≈ 0.156

Step 5: Calculate the probability of getting exactly 7 hits

Using the binomial probability formula, we have:

P(X=7) = C(8, 7) * (5/7)^7 * (2/7)^(8-7)

Calculating this expression, we get:

P(X=7) ≈ 0.053

Step 6: Calculate the probability of getting exactly 8 hits

Using the binomial probability formula, we have:

P(X=8) = C(8, 8) * (5/7)^8 * (2/7)^(8-8)

Calculating this expression, we get:

P(X=8) ≈ 0.009

Step 7: Calculate the probability of killing the dragon (getting 3 or more hits)

To calculate the probability of killing the dragon, we need to sum up the probabilities of getting 3, 4, 5, 6, 7, or 8 hits:

P(killing the dragon) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

Calculating this expression, we get:

P(killing the dragon) ≈ 0.929

Therefore, the archer has a probability of approximately 0.929 or 92.9% of killing the dragon with 8 shots, given a hit probability of 5/7 and a miss probability of 2/7.