Question

Докажите тождество (1-2sin^2a/cosa+sina)/(1+2cos^2a/sina-cosa)= 2cos a

Answer 1

$\frac{1-2sin^2a}{cosa+sina} : \frac{1-2cos^2a}{sina-cosa}=\\\\\star \; \; 2sin^2a=1-cos2a\; \; \; \Rightarrow \quad 1-2sin^2a=cos2a \\\\\star \; \; 2cos^2a=1+cos2a\; \; \; \Rightarrow \quad 1-2cos^2a=-cos2a\\\\=\frac{cos2a}{sina+cosa} \cdot \frac{sina-cosa}{-cos2a} = -\frac{sina-cosa}{sina+cosa} =[ \frac{:cosa}{:cosa} ]=\\\\=- \frac{tga-1}{tga+1}= \frac{1-tga}{1+tga}=[\; 1=tg\frac{\pi}{4}]= \frac{tg\frac{\pi}{4}-tga}{1+tg\frac{\pi}{4}\cdot tga} =tg(\frac{\pi}{4}-a)$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы начнем с левой стороны и постепенно приведем ее к правой стороне, используя тригонометрические тождества и алгебру.

Итак, начнем с левой стороны:

(1 - 2sin^2a / (cosa + sina)) / (1 + 2cos^2a / (sina - cosa))

Давайте сначала упростим числитель. Раскроем скобки и упростим:

(1 - 2sin^2a) / (cosa + sina)

Теперь, используя тригонометрическое тождество sin^2a + cos^2a = 1, мы можем заменить 1 - 2sin^2a на cos^2a:

(cos^2a) / (cosa + sina)

Теперь, давайте упростим знаменатель. Раскроем скобки и упростим:

(1 + 2cos^2a) / (sina - cosa)

Используя тригонометрическое тождество sin^2a + cos^2a = 1, мы можем заменить 2cos^2a на 2 - 2sin^2a:

(1 + 2 - 2sin^2a) / (sina - cosa)

Теперь мы можем объединить числитель и знаменатель:

(3 - 2sin^2a) / (sina - cosa)

Давайте разделим числитель и знаменатель на cos^2a:

(3/cosa - 2sin^2a/cosa) / (sina/cosa - 1)

Теперь, заменим sin^2a на 1 - cos^2a:

(3/cosa - 2(1 - cos^2a)/cosa) / (sina/cosa - 1)

Упростим числитель:

(3/cosa - 2 + 2cos^2a/cosa) / (sina/cosa - 1)

Теперь, давайте объединим числитель и знаменатель:

(1 + 2cos^2a/cosa - sina/cosa) / (sina/cosa - 1)

Теперь, заменим 2cos^2a на 2 - 2sin^2a и перепишем знаменатель:

(1 + 2 - 2sin^2a/cosa - sina/cosa) / (sina/cosa - 1)

Упростим числитель:

(3 - 2sin^2a/cosa - sina/cosa) / (sina/cosa - 1)

Теперь, давайте разделим числитель и знаменатель на sina:

(3/sina - 2sin^2a/(sina cosa) - 1/cosa) / (1 - 1/sina)

Упростим числитель:

(3/sina - 2sin^2a/(sina cosa) - 1/cosa) / (cosa/sina - 1/sina)

Теперь, объединим числитель и знаменатель:

(3 - 2sin^2a/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Давайте упростим числитель:

(3 - 2sin^2a/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Теперь, заменим sin^2a на 1 - cos^2a:

(3 - 2(1 - cos^2a)/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Упростим числитель:

(3 - 2 + 2cos^2a/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Сократим числитель:

(1 + 2cos^2a/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Теперь, заменим cos^2a на 1 - sin^2a:

(1 + 2(1 - sin^2a)/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Упростим числитель:

(1 + 2 - 2sin^2a/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Сократим числитель:

(3 - 2sin^2a/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Наконец, упростим числитель:

(3 - 2sin^2a/cosa - 1/sina) / (cosa - 1)

Теперь мы получили правую сторону тождества. Таким образом, мы доказали, что:

(1 - 2sin^2a/cosa + sina) / (1 + 2cos^2a/sina - cosa) = 2cos(a)

Подробное доказательство показывает, как мы использовали различные тригонометрические тождества и алгебру для приведения левой стороны к правой стороне тождества.