Question

Sin²x-2sinxcosx=3cos²x

Answer 1

Чтобы решить это уравнение нужно разделить все на $cos^{2} x$
тогда получается:
$tg^{2}x - 2tg x-3=0$
Заменим tgx через m
$m^{2}-2m-3=0$
и решим квадратное уравнение.
D=4+12=16=$4^{2}$
$m_{1} = (2+4):2=3 \\ m_{2}=(2-4):2=-1$
и уже подставим эти значения в тангенс.
1. tgx=3
x=arctg3+$\pi n$
2. tgx=-1
x=-$\frac{ \pi }{4} + \pi n$
вот и все. два решения

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение подробно.

Имеем уравнение:

\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 3\cos^2(x) \]

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить уравнение. Мы можем воспользоваться тождеством \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) и тождеством \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

Подставим \( \sin(2x) \) вместо \( 2\sin(x)\cos(x) \):

\[ \sin^2(x) - \sin(2x) = 3\cos^2(x) \]

Теперь используем тождество \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \):

\[ (1 - \cos^2(x)) - \sin(2x) = 3\cos^2(x) \]

Раскроем скобки:

\[ 1 - \cos^2(x) - \sin(2x) = 3\cos^2(x) \]

Теперь подставим \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \):

\[ 1 - \cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 3\cos^2(x) \]

Теперь сложим \( \cos^2(x) \) с обеих сторон уравнения:

\[ 1 - \cos^2(x) + \cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 4\cos^2(x) \]

\[ 1 - 2\sin(x)\cos(x) = 4\cos^2(x) \]

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ 4\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение относительно \( \cos(x) \). Мы можем решить его, например, используя дискриминант:

\[ \cos(x) = \frac{-2\sin(x) \pm \sqrt{4\sin^2(x) + 16}}{8} \]

\[ \cos(x) = \frac{-2\sin(x) \pm \sqrt{4\sin^2(x) + 16}}{8} \]

\[ \cos(x) = \frac{-\sin(x) \pm \sqrt{\sin^2(x) + 4}}{4} \]

Теперь мы можем использовать тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) и заменить \( \sin^2(x) \) в выражении:

\[ \cos(x) = \frac{-\sin(x) \pm \sqrt{1 - \cos^2(x) + 4}}{4} \]

\[ \cos(x) = \frac{-\sin(x) \pm \sqrt{5 - \cos^2(x)}}{4} \]

Теперь у нас есть выражение для \( \cos(x) \), и мы можем продолжить решение уравнения. Однако, уточню, что это довольно сложное уравнение, и дальнейшие шаги могут быть нетривиальными. Если есть возможность использовать численные методы или графику для нахождения корней уравнения, это может быть более эффективным методом.