Question

Помогите пожалуйста! 1)3(cos x-sin x)=1+cos2x-sin2x 2)2 cos 2x+2cos x sin^2x=cos x

Answer 1

$1)\; \; 3(cosx-sinx)=1+\underbrace {cos2x}_{2cos^2x-1}-\underbrace {sin2x}_{2sinx\, cosx}\\\\3(cosx-sinx)=2cos^2x-2sinx\cdot cosx\\\\3(cosx-sinx)=2cosx(cosx-sinx)\\\\(cosx-sinx)(3-2cosx)=0\\\\a)\; \; cosx-sinx=0\; |:cosx\ne 0\\\\tgx-1=0\; ,\; \; tgx=1\; ,\; \; \underline {x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in Z}\\\\b)\; \; 3-2cosx=0\; ,\; \; cosx=\frac{3}{2}\ \textgreater \ 1\; \; net\; reshenij\\\\\underline {x\in \varnothing }\\\\Otvet:\; \; x= \frac{\pi }{4}+\pi n,\; n\in Z$

$2)\; \; 2cos2x+2cosx\cdot sin^2x=cosx\\\\\star \; cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1\; \star \\\\\star \; sin^2x+cos^2x=1\; \; \to \; \; sin^2x=1-cos^2x\; \star \\\\2(2cos^2x-1)+2cosx(1-cos^2x)=cosx\\\\4cos^2x-2+2cosx-2cos^3x-cosx=0\\\\4cos^2x-2cos^3x+cosx-2=0\\\\2cos^2x(2-cosx)-(2-cosx)=0\\\\(2-cosx)(2cos^2x-1)=0$

$a)\; \; 2-cosx=0\; ,\; \; cosx=2\ \textgreater \ 1\; \; net\; reshenij\\\\\underline {x\in \varnothing }\\\\b)\; \; \underbrace {2cos^2x-1}_{cos2x}=0\; ,\; \; cos2x=0\; ,\; \; 2x= \frac{\pi }{2}+\pi n\; ,\; n\in Z$

$\underline {x= \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z} \; \; -\; \; otvet\; .$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение поочередно:

1) \(3(\cos x + \sin x) = 1 + \cos 2x - \sin 2x\)

Раскроем скобки:

\[3\cos x + 3\sin x = 1 + \cos 2x - \sin 2x\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[3\cos x + 3\sin x - 1 - \cos 2x + \sin 2x = 0\]

Теперь используем тригонометрические тождества, такие как \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\) и \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\):

\[3\cos x + 3\sin x - 1 - (\cos^2 x - \sin^2 x) + 2\sin x \cos x = 0\]

Упростим выражение:

\[3\cos x + 3\sin x - 1 - \cos^2 x + \sin^2 x + 2\sin x \cos x = 0\]

Теперь объединим подобные члены:

\[-\cos^2 x + 3\sin x \cos x + 2\sin x + 2\sin^2 x - 1 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin x\) и \(\cos x\). Решим его и найдем значения углов \(x\).

2) \(2 + \cos 2x + 2\cos x + \sin^2 x = \cos x\)

Раскроем скобки:

\[2 + \cos 2x + 2\cos x + \sin^2 x = \cos x\]

Перенесем все члены на одну сторону:

\[\cos 2x + 2\cos x + \sin^2 x - \cos x - 2 = 0\]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами, такими как \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\) и \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):

\[(\cos^2 x - \sin^2 x) + 2\cos x + (1 - \cos^2 x) - \cos x - 2 = 0\]

Упростим выражение:

\[\cos^2 x - \sin^2 x + 2\cos x + 1 - \cos^2 x - \cos x - 2 = 0\]

Теперь объединим подобные члены:

\[-\sin^2 x + \cos x - 1 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin x\) и \(\cos x\). Решим его и найдем значения углов \(x\).

Оба уравнения приведены к квадратным уравнениям, которые могут быть решены стандартными методами для нахождения корней.