Question

Найдите четыре числа, из которых первые три составляют арифметическую, а последние три - геометрическую прогрессии, если сумма крайних чисел равна 22, а сумма двух средних чисел равна 20.

Answer 1

Решение: Пусть a,b,c,d – данные последовательно записанные числа. Тогда по условию

a+d=22    (1)

b+c=20    (2)

Из свойств арифметической и геометрической прогрессии имеем:

a+c=2*b (3)

c^2=b*d (4)

Из (2) получим b=20-c (5).

Сложив (1) и (2), получим a+b+c+d=22+20=42, использовав (3) и (5), получим

3*b+d=42, d=42-3*b=42-3*(20-c)=42-60+3*c=3*c-18, то есть

d=3*c-18 (6).

Использовав (4), (5), (6), получим

c^2=(20-c)*(3c-18). Решаем:

c^2=60*c-360-3*c^2+18*c=-3c^2+78c-360.

4*c^2-78*c+360=0

2*c^2-39*c+180=0.

d=39^2-4*2*180=81

c1=(39-9)\(2*2)=30\4=15\2=7.5

c2=(39+9)\(2*2)=12

Из (1), (6) получим

а=22-d=22-(3*c-18)=40-3*c (7).

Используя (5), (6), (7), получим

a1=40-3*7.5=17.5

a2=40-3*12=4

b1=20-7.5=12.5

b2=20-12=8

d1=3*7.5-18=4.5

d2=3*12-18=18

Таким образом получили две последовательности 17.5;12.5;7.5;4.5 и

4;8;12;18

Ответ: 17.5;12.5;7.5;4.5 или 4;8;12;18

Answer 2

Пусть первые три числа а, б, в составляют арифметическую прогрессию, а последние три числа б, в, г составляют геометрическую прогрессию.

Тогда а + б + в = 22 (1) - сумма крайних чисел равна 22 и б + в + г = 20 (2) - сумма двух средних чисел равна 20

Заметим, что общие члены прогрессий могут быть числами с плавающей точкой, поэтому воспользуемся методом подстановки.

Из уравнений (1) и (2) можно выразить а через б, в и г:

а = 22 - б - в (3) а = 20 - в - г (4)

Приравняем выражения (3) и (4):

22 - б - в = 20 - в - г

Тогда находим значение г:

г = б + 2 (5)

Подставим (4) и (5) в (3):

20 - в - (б + 2) = 22 - б - в

Упрощаем:

18 - в - б = 22 - б - в

Упростим дальше:

18 = 22

Получаем противоречие. Значит, такой системы уравнений нет, отсутствуют четыре числа, первые три из которых составляют арифметическую, а последние три - геометрическую прогрессии, и при этом сумма крайних чисел равна 22, а сумма двух средних чисел равна 20.