Question

Тригонометрия,помогите упростить дробь:Sin8x+Sin9x+Sin10x+Sin11x+Sin12xCos8x+Cos9x+Cos10x+Cos11x+Cos12x

Answer 1

2 из 2В числителе по формуле суммы синусов сложи 12 и 8 и 9 и 11 будут функции полусуммы (12+8)/2 = 10
и полуразности (12-8)/2=2 , с 9 и 11 аналогично, только там будет 10 и просто х соответственно разнообразие аргументов поубавится, останутся только 10х, 2х и х, в знаменателе тоже также, дальше смотри, может сократиться что или ещё как-то.

Answer 2

Решение Вашего задания во вложении ( 2 фото), выбери лучшее изображение

Answer 3

Для упрощения данной дроби, мы можем использовать формулу суммы синусов:

$$ \sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

Применим эту формулу к числителю дроби:

\begin{align*} \text{Числитель} &= \sin(8x) + \sin(9x) + \sin(10x) + \sin(11x) + \sin(12x) \\ &= 2\sin\left(\frac{8x+9x}{2}\right)\cos\left(\frac{8x-9x}{2}\right) \\ &\quad + 2\sin\left(\frac{9x+10x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x-10x}{2}\right) \\ &\quad + 2\sin\left(\frac{10x+11x}{2}\right)\cos\left(\frac{10x-11x}{2}\right) \\ &\quad + 2\sin\left(\frac{11x+12x}{2}\right)\cos\left(\frac{11x-12x}{2}\right) \\ &= 2\sin\left(\frac{17x}{2}\right)\cos\left(-\frac{x}{2}\right) + 2\sin(9x)\cos(-\frac{x}{2}) \\ &\quad + 2\sin\left(\frac{21x}{2}\right)\cos\left(-\frac{x}{2}\right) + 2\sin(11x)\cos(-\frac{x}{2}) \\ &= 2\sin\left(\frac{17x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 2\sin(9x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \\ &\quad + 2\sin\left(\frac{21x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - 2\sin(11x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \\ &= 2\left(\sin\left(\frac{17x}{2}\right) - \sin(9x) + \sin\left(\frac{21x}{2}\right) - \sin(11x)\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \end{align*}

Теперь применим формулу суммы косинусов к знаменателю дроби:

$$ \cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) $$

Применим эту формулу к знаменателю дроби:

\begin{align*} \text{Знаменатель} &= \cos(8x) + \cos(9x) + \cos(10x) + \cos(11x) + \cos(12x) \\ &= 2\cos\left(\frac{8x+9x}{2}\right)\cos\left(\frac{8x-9x}{2}\right) \\ &\quad + 2\cos\left(\frac{9x+10x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x-10x}{2}\right) \\ &\quad + 2\cos\left(\frac{10x+11x}{2}\right)\cos\left(\frac{10x-11x}{2}\right) \\ &\quad + 2\cos\left(\frac{11x+12x}{2}\right)\cos\left(\frac{11x-12x}{2}\right) \\ &= 2\cos\left(\frac{17x}{2}\right)\cos\left(-\frac{x}{2}\right) + 2\cos(9x)\cos(-\frac{x}{2}) \\ &\quad + 2\cos\left(\frac{21x}{2}\right)\cos\left(-\frac{x}{2}\right) + 2\cos(11x)\cos(-\frac{x}{2}) \\ &= 2\cos\left(\frac{17x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cos(9x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \\ &\quad + 2\cos\left(\frac{21x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cos(11x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \\ &= 2\left(\cos\left(\frac{17x}{2}\right) + \cos(9x) + \cos\left(\frac{21x}{2}\right) + \cos(11x)\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) \end{align*}

Таким образом, мы получили упрощенную форму дроби:

$$ \frac{\sin(8x) + \sin(9x) + \sin(10x) + \sin(11x) + \sin(12x)}{\cos(8x) + \cos(9x) + \cos(10x) + \cos(11x) + \cos(12x)} = \frac{2\left(\sin\left(\frac{17x}{2}\right) - \sin(9x) + \sin\left(\frac{21x}{2}\right) - \sin(11x)\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\left(\cos\left(\frac{17x}{2}\right) + \cos(9x) + \cos\left(\frac{21x}{2}\right) + \cos(11x)\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)} $$

Заметим, что множитель $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ сократится в числителе и знаменателе. Также у нас есть два множителя 2, которые также сократятся. Получаем окончательную упрощенную форму:

$$ \frac{\sin\left(\frac{17x}{2}\right) - \sin(9x) + \sin\left(\frac{21x}{2}\right) - \sin(11x)}{\cos\left(\frac{17x}{2}\right) + \cos(9x) + \cos\left(\frac{21x}{2}\right) + \cos(11x)} $$

Таким образом, дробь $\frac{\sin(8x) + \sin(9x) + \sin(10x) + \sin(11x) + \sin(12x)}{\cos(8x) + \cos(9x) + \cos(10x) + \cos(11x) + \cos(12x)}$ упрощается до $\frac{\sin\left(\frac{17x}{2}\right) - \sin(9x) + \sin\left(\frac{21x}{2}\right) - \sin(11x)}{\cos\left(\frac{17x}{2}\right) + \cos(9x) + \cos\left(\frac{21x}{2}\right) + \cos(11x)}$.