Question

Log2 x+log2 (x-1)=<1

Answer 1

$log_{2}x+ log_{2}(x-1) \leq 1$

ОДЗ: 
$\left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x-1\ \textgreater \ 0}} \right.$

$\left \{ {{x\ \textgreater \ 0} \atop {x\ \textgreater \ 1}} \right.$

$x$ ∈ $(1;+$ ∞$)$


$log_{2}x+ log_{2}(x-1) \leq log_{2}2$

$log_{2}(x^2-x)\leq log_{2}2$

$x^2-x\leq 2$

$x^2-x-2\leq 0$

$D=(-1)^2-4*1*(-2)=1+8=9$

$x_1= \frac{1+3}{2}=2$

$x_2= \frac{1-3}{2}=-1$

-----  +  -----[-1]----- - -----[2]----- + ------
                       ////////////////

$x$ ∈ $[-1;2]$

с учётом ОДЗ получаем 

Ответ: $(1;2]$

Answer 2

log2(x) + log2(x-1) <= 1

Для решения данного неравенства можно использовать следующий подход:

1. Преобразование логарифма суммы: log2(x(x-1)) <= 1

2. Преобразование неравенства в эквивалентное равенство: x(x-1) = 2^1 x^2 - x = 2

3. Приведение квадратного уравнения к стандартному виду: x^2 - x - 2 = 0

4. Решение квадратного уравнения: Путем факторизации или применения формулы квадратного корня получаем два значения: x = -1 и x = 2

5. Проверка корней: Проверяем значения корней в исходном неравенстве: Подставляем x = -1: log2(-1) + log2(-1-1) <= 1 Логарифм неположительного числа не существует, значит, -1 не является корнем.

Подставляем x = 2: log2(2) + log2(2-1) <= 1 1 + log2(1) <= 1 1 + 0 <= 1 Значение верно.

Таким образом, решением данного неравенства является x = 2.