Question

Помогите решить (a+2)(b+2)(a+b)>=16ab

Answer 1

(а+2)(b+2)(a+b)>=16ab
a+b=>16ab
ab=-16ab хотя, точно не уверен!

Answer 2

Давайте решим неравенство \( (a + 2)(b + 2)(a + b) \geq 16ab \) подробно.

1. Раскрываем скобки:

\((a + 2)(b + 2)(a + b) = (ab + 2a + 2b + 4)(a + b)\)

Теперь умножим результат на \( (a + b) \):

\(= (ab + 2a + 2b + 4)(a + b) = a(ab + 2a + 2b + 4) + b(ab + 2a + 2b + 4)\)

\(= a^2b + 2a^2 + 2ab + 4a + ab^2 + 2ab + 2b^2 + 4b\)

\(= a^2b + ab^2 + 2a^2 + 4a + 2ab + 2ab + 2b^2 + 4b\)

\(= a^2b + ab^2 + 2a^2 + 4a + 4ab + 2b^2 + 4b\)

2. Упрощаем выражение:

\(= a^2b + ab^2 + 2a^2 + 4a + 4ab + 2b^2 + 4b - 16ab\)

\(= a^2b + ab^2 + 2a^2 + 4a + 4ab + 2b^2 + 4b - 16ab\)

\(= a^2b + ab^2 + 2a^2 + 2b^2 + 4a + 4b - 12ab\)

3. Полученное выражение сравниваем с 0:

\(a^2b + ab^2 + 2a^2 + 2b^2 + 4a + 4b - 12ab \geq 0\)

4. Группируем слагаемые:

\(a^2b + ab^2 - 12ab + 2a^2 - 12a + 2b^2 + 4a + 4b \geq 0\)

\(ab(a + b - 12) + 2a(a - 6) + 2b(b + 2) \geq 0\)

\(ab(a - 6 + b - 6) + 2a(a - 6) + 2b(b + 2) \geq 0\)

\(ab(a - 6) + ab(b - 6) + 2a(a - 6) + 2b(b + 2) \geq 0\)

\(ab(a - 6) + 2a(a - 6) + ab(b - 6) + 2b(b + 2) \geq 0\)

\((a - 6)(ab + 2a) + (b + 2)(ab + 2b) \geq 0\)

5. Факторизуем:

\((a - 6)(ab + 2a) + (b + 2)(ab + 2b) = (a - 6)(a + 2b) + (b + 2)(a + 2b)\)

6. Далее:

\((a - 6 + b + 2)(a + 2b) \geq 0\)

\((a + b - 4)(a + 2b) \geq 0\)

Таким образом, неравенство \( (a + 2)(b + 2)(a + b) \geq 16ab \) выполняется, когда \((a + b - 4)(a + 2b) \geq 0\). Это неравенство будет верным, если оба множителя, \( (a + b - 4) \) и \( (a + 2b) \), будут одновременно неотрицательными или одновременно отрицательными.