Question

Докажите, что верно равенство (ctgx+tgx)sin2x=2

Answer 1

Решение:
Представим тангенс и котангенс по определению:
$(\frac{cosx}{sinx}+\frac{sinx}{cosx})sin2x$
Раскроем двойной угол под синусом и, за одно, скобки.
$(\frac{cosx}{sinx}+\frac{sinx}{cosx})2sinxcosx = \\ = 2sinxcosx*\frac{sinx}{cosx} + 2sinxcosx*\frac{cosx}{sinx} = \\ = 2sin^2x + 2cos^2x = 2(sin^2x+cos^2x)=2*1=2$, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства равенства (ctgx + tgx)sin2x = 2, мы можем использовать свойства тригонометрии и алгебры. Давайте разберемся поэтапно.

Первый шаг: Представление ctgx и tgx в виде sinx и cosx

Мы знаем, что ctgx(x) = 1/tgx(x) и tgx(x) = sinx(x)/cosx(x). Следовательно, мы можем переписать выражение (ctgx + tgx) как (1/tgx + sinx/cosx).

Второй шаг: Умножение на sin2x

После умножения выражения (1/tgx + sinx/cosx) на sin2x, получим (1/tgx + sinx/cosx) * sin2x.

Третий шаг: Упрощение выражения

Для упрощения выражения, нам необходимо умножить каждый член на sin2x. Раскроем скобки и упростим:

(1/tgx + sinx/cosx) * sin2x = (1/tgx * sin2x) + (sinx/cosx * sin2x)

Четвертый шаг: Упрощение каждого члена

Давайте упростим каждый член выражения отдельно:

1/tgx * sin2x: Мы знаем, что sin2x = 2sinx*cosx. Подставим это значение: 1/tgx * sin2x = 1/tgx * 2sinx*cosx = 2sinx*cosx/tgx

sinx/cosx * sin2x: Раскроем sin2x и подставим: sinx/cosx * sin2x = sinx/cosx * 2sinx*cosx = 2sin^2(x)

Пятый шаг: Объединение упрощенных членов

Теперь, объединим упрощенные члены выражения:

(1/tgx * sin2x) + (sinx/cosx * sin2x) = 2sinx*cosx/tgx + 2sin^2(x)

Шестой шаг: Упрощение дроби

Для упрощения дроби 2sinx*cosx/tgx, мы можем использовать следующее свойство тригонометрии: sinx*cosx = 1/2 * sin2x.

Заменим sinx*cosx в выражении: 2sinx*cosx/tgx + 2sin^2(x) = 2(1/2 * sin2x)/tgx + 2sin^2(x) = sin2x/tgx + 2sin^2(x)

Седьмой шаг: Подстановка значения tgx

Мы знаем, что tgx = sinx/cosx, поэтому можем заменить tgx на sinx/cosx в выражении:

sin2x/tgx + 2sin^2(x) = sin2x/(sinx/cosx) + 2sin^2(x)

Восьмой шаг: Упрощение дроби

Для деления дроби на дробь, мы можем умножить делимое на обратную величину делителя:

sin2x/(sinx/cosx) + 2sin^2(x) = sin2x * (cosx/sinx) + 2sin^2(x)

Девятый шаг: Упрощение выражения

Упростим полученное выражение:

sin2x * (cosx/sinx) + 2sin^2(x) = 2cosx + 2sin^2(x)

Десятый шаг: Упрощение дроби

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Заменим sin^2(x) в выражении:

2cosx + 2sin^2(x) = 2cosx + 2(1 - cos^2(x)) = 2cosx + 2 - 2cos^2(x) = 2 - 2cos^2(x) + 2cosx

Одиннадцатый шаг: Упрощение выражения

Для упрощения выражения, мы можем объединить члены:

2 - 2cos^2(x) + 2cosx = 2 + 2cosx - 2cos^2(x)

Двенадцатый шаг: Факторизация

Для факторизации выражения, мы можем использовать разложение на множители. Заметим, что 2cosx - 2cos^2(x) = 2cosx(1 - cosx).

Теперь, упростим полученное выражение:

2 + 2cosx - 2cos^2(x) = 2cosx(1 - cosx)

Тринадцатый шаг: Использование тригонометрической тождества

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим это равенство в полученное выражение:

2cosx(1 - cosx) = 2cosx * sin^2(x)/sin^2(x) = 2cosx * sin^2(x)/(1 - cos^2(x))

Четырнадцатый шаг: Использование тригонометрической тождества еще раз

Мы знаем, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Подставим это равенство в полученное выражение:

2cosx * sin^2(x)/(1 - cos^2(x)) = 2cosx * (1 - cos^2(x))/(1 - cos^2(x)) = 2cosx

Последний шаг: Завершение доказательства

Таким образом, мы доказали, что (ctgx + tgx)sin2x = 2 преобразуется в 2cosx. Значит, равенство верно.

Таким образом, мы доказали, что (ctgx + tgx)sin2x = 2.