Question

Сколько корней имеет уравнение:(cosx-sinx)^2=1-2sin2x на отрезке [20пи/9; 28пи/9]

Answer 1

Решение прицеплено в картинке

Answer 2

Для начала, преобразуем данное уравнение:

(cosx - sinx)^2 = 1 - 2sin^2x

Раскроем квадрат:

cos^2x - 2sinxcosx + sin^2x = 1 - 2sin^2x

Поскольку sin^2x + cos^2x = 1, можно заменить cos^2x в уравнении:

1 - sin^2x - 2sinxcosx + sin^2x = 1 - 2sin^2x

Упростим:

-2sinxcosx = -sin^2x

Поделим обе части на -sinx (при условии, что sinx ≠ 0):

2cosx = sinx

Теперь рассмотрим данный результат на отрезке [20π/9; 28π/9]. Заметим, что sinx ≥ 0 на данном отрезке, так как sinx ≥ 0 при x ∈ [0, π]. Также, cosx ≥ 0 на данном отрезке, так как cosx ≥ 0 при x ∈ [0, π/2] ∪ [2π, 5π/2].

Таким образом, уравнение 2cosx = sinx имеет одно решение на данном отрезке.

Для нахождения этого решения, можно использовать график функций sinx и 2cosx. При пересечении графиков, найдем значение x, которое будет являться решением уравнения.

Таким образом, на отрезке [20π/9; 28π/9] уравнение (cosx - sinx)^2 = 1 - 2sin^2x имеет один корень.