Question

Разность квадратов корней уравнения х^2-6х+с=0 равна 24.найдите с Через теорему Виета Очень надо

Answer 1

$\left \{ {{x_1+x_2=6,} \atop {x_2^2-x_1^2=24;}} \right. \ \left \{ {{x_1+x_2=6,} \atop {(x_2-x_1)(x_2+x_1)=24;}} \right. \ \left \{ {{x_1+x_2=6,} \atop {(x_2-x_1)\cdot6=24;}} \right. \ \left \{ {{x_1+x_2=6,} \atop {x_2-x_1=4;}} \right. (+) \\ \left \{ {{x_1=6-x_2,} \atop {2x_2=10;}} \right. \ \left \{ {{x_1=1,} \atop {x_2=5;}} \right. \\ c=x_1x_2=1\cdot5=5.$

Answer 2

Давайте решим уравнение \(x^2 - 6x + c = 0\) и найдем разность квадратов его корней, используя теорему Виета.

Уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c\) - неизвестный коэффициент.

Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) с корнями \(x_1\) и \(x_2\) справедливы следующие соотношения:

1. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) 2. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

В данном уравнении сумма корней \(x_1 + x_2 = 6\), а произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = c\).

Также известно, что разность квадратов корней равна 24. Разность квадратов обозначается как \((x_1 - x_2)^2\). Таким образом, у нас есть следующее равенство:

\[(x_1 - x_2)^2 = 24\]

Теперь давайте воспользуемся формулами для суммы и произведения корней:

\[x_1 - x_2 = \sqrt{24}\]

Теперь у нас есть значение для разности корней. Давайте подставим его в уравнение для суммы корней:

\[x_1 + x_2 = 6\]

Теперь мы можем найти значения \(x_1\) и \(x_2\):

\[x_1 = \frac{1}{2}(x_1 + x_2 + \sqrt{24})\] \[x_2 = \frac{1}{2}(x_1 + x_2 - \sqrt{24})\]

Таким образом, мы можем использовать теорему Виета для нахождения коэффициента \(c\):

\[c = x_1 \cdot x_2\]

Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\):

\[c = \frac{1}{2}(x_1 + x_2 + \sqrt{24}) \cdot \frac{1}{2}(x_1 + x_2 - \sqrt{24})\]

\[c = \frac{1}{4}((x_1 + x_2)^2 - 24)\]

\[c = \frac{1}{4}(6^2 - 24)\]

\[c = \frac{1}{4}(36 - 24)\]

\[c = \frac{1}{4}(12)\]

\[c = 3\]

Таким образом, значение коэффициента \(c\) равно 3.