Question

Уважаемые математики!Помогите с задачей: Девять чисел таковы, что сумма любых четырех из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны. Как ее вообще решать? Мои идеи: воспользоваться элементом комбинаторики(число сочетаний из n элементов по m). Тогда получится 126 случаев(неравенств). Числа а,б,в,г,д,е,ж,з,и встретятся по 14 раз в обоих неравенствах. Но тут противоречие(если сложить неравенства, то получится i<i) Спасибо!Задача очень интересная, думаю, вам тоже будет интересно ее решить)

Answer 1

Держите:
(люблю, когда уже выкладывают свои соображения-уважаю)
раз уж Вы ввели абвгдежзи, их и придержимся, но для определенности это ряд не убывающий, то есть а-самое маленькоеили равное б,.. и тд, и - соответсвенно самое большое
то есть надо показать, что а>0
а+б+в+г+д>е+ж+з+и условие задачи
б+в+г+д≤е+ж+з+и -по обозначениям
а+б+в+г+д>е+ж+з+и≥б+в+г+д
а+б+в+г+д≥б+в+г+д
а≥0
вот такие вот мои соображения.. как избавится от нуля меньшего - додумайте сами, там не сложно..

Answer 2

Конечно, давайте разберём эту задачу. У нас есть девять чисел, и сумма любых четырех из них меньше суммы пяти остальных. Нам нужно доказать, что все эти числа положительны.

Для начала, давайте предположим, что хотя бы одно из чисел отрицательно. Пусть это число будет \(x\). Тогда выберем четыре числа с наименьшими значениями из оставшихся восеми чисел и обозначим их как \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).

Теперь у нас есть сумма четырех чисел (\(a + b + c + d\)), которая меньше суммы оставшихся пяти чисел, включая \(x\). То есть:

\[a + b + c + d < (x + \text{оставшиеся четыре числа})\]

Из этого неравенства следует:

\[a + b + c + d - x < (\text{оставшиеся четыре числа})\]

Так как \(x\) отрицательное, левая часть неравенства меньше суммы оставшихся четырех чисел. Но это противоречит условию задачи, где сумма любых четырех чисел должна быть меньше суммы пяти остальных. Получается, что предположение о наличии отрицательного числа неверно.

Значит, все числа должны быть положительными. Это следует из того, что в противном случае мы получим противоречие с условиями задачи.

Такой метод решения позволяет логически вывести, что все числа должны быть положительными, не требуя перебора всех возможных комбинаций.