Question

Найдите общий вид первообразных для функций: f(x)=6/(cos^2 (3x-4) )

Answer 1

$f(x)=\frac{6}{cos^2(3x-4)}\\\\F(x)=\frac{6}{3}\cdot tg(3x-4)+C$

Answer 2

Поиск общего вида первообразных для функции f(x) = 6/(cos^2(3x-4))

Для решения этой задачи мы будем использовать метод замены переменной. Начнем с предположения, что первообразная функции f(x) имеет вид:

F(x) = ∫(u(x)) dx,

где u(x) - некоторая функция, которую мы должны выбрать таким образом, чтобы упростить интеграл. Давайте рассмотрим замену переменной:

u = 3x - 4.

Тогда, производная u по x равна:

du/dx = 3.

Перепишем это выражение, чтобы выразить dx через du:

dx = (1/3) du.

Теперь мы можем переписать исходный интеграл в новых переменных:

∫(6/(cos^2(3x-4))) dx = ∫(6/(cos^2(u))) (1/3) du = (2/3) ∫(2sec^2(u)) du.

Здесь мы использовали тождество cos^2(u) = 1/sec^2(u). Теперь, мы можем упростить интеграл, так как ∫(sec^2(u)) du = tan(u):

(2/3) ∫(2sec^2(u)) du = (4/3) tan(u) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь, нам нужно выразить u через исходную переменную x. Используя нашу замену переменной u = 3x - 4, мы получаем:

tan(u) = tan(3x - 4).

Итак, окончательное выражение для первообразной функции f(x) имеет вид:

F(x) = (4/3) tan(3x - 4) + C,

где C - произвольная постоянная.

Ответ: Общий вид первообразной для функции f(x) = 6/(cos^2(3x-4)) равен F(x) = (4/3) tan(3x - 4) + C, где C - произвольная постоянная.