Question

Помогите пожалуйста Докажите тождество: sin(a-b)*cos b+cos(a-b)*sin b/cos(a-b)*cosb-sin(a-b)*sinb =tga

Answer 1

Очевидно, что левая часть сложнее правой. Поэтому левую будем сводить к правой.
(sin(a-b)cosb+cos(a-b)sinb)/(cos(a-b)cosb-sin(a-b)sinb)=((sinacosb-sinbcosa)cosb+(cosacosb+sinasinb)sinb)/((cosacosb+sinasinb)cosb-(sinacosb-sinbcosa)sinb)=(sinacos^2(b)-sinbcosbcosa+sinbcosbcosa+sinasin^2(b))/(cosacos^2(b)+sinasinbcosb-sinacosbsinb+sin^2(b)cosa)=(sinacos^2(b)+sinasin^2(b))/(cosacos^2(b)+sin^2(b)cosa)=(sina(cos^2(b)+sin^2(b))/cosa(cos^2(b)+sin^2(b))=tga
Ч Т Д.

Answer 2

Прежде чем приступить к доказательству тождества, давайте уточним ваш запрос, так как он выглядит немного неполным и содержит ошибки. Возможно, вы имели в виду следующее тождество:

\[ \sin(a - b) \cdot \cos(b) + \cos(a - b) \cdot \sin(b) = \tan(a) \]

Если это так, то давайте докажем это тождество. Воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Разложение синуса разности: \[ \sin(a - b) = \sin(a) \cdot \cos(b) - \cos(a) \cdot \sin(b) \]

2. Разложение косинуса разности: \[ \cos(a - b) = \cos(a) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b) \]

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

\[ \begin{align*} &\sin(a - b) \cdot \cos(b) + \cos(a - b) \cdot \sin(b) \\ &= (\sin(a) \cdot \cos(b) - \cos(a) \cdot \sin(b)) \cdot \cos(b) + (\cos(a) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b)) \cdot \sin(b) \\ &= \sin(a) \cdot \cos(b) \cdot \cos(b) - \cos(a) \cdot \sin(b) \cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \cos(b) \cdot \sin(b) + \sin(a) \cdot \sin(b) \cdot \sin(b) \\ &= \sin(a) \cdot \cos^2(b) - \cos(a) \cdot \sin(b) \cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \cos(b) \cdot \sin(b) + \sin(a) \cdot \sin^2(b) \end{align*} \]

Теперь объединим члены, содержащие \(\cos(b)\) и \(\sin(b)\):

\[ \begin{align*} &\sin(a - b) \cdot \cos(b) + \cos(a - b) \cdot \sin(b) \\ &= \sin(a) \cdot \cos^2(b) + \cos(a) \cdot \cos(b) \cdot \sin(b) - \cos(a) \cdot \sin(b) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin^2(b) \\ &= \sin(a) \cdot \cos^2(b) + \cos(a) \cdot \cos(b) \cdot \sin(b) - \cos(a) \cdot \sin(b) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin^2(b) \\ &= \sin(a) \cdot \cos^2(b) + \sin(a) \cdot \sin^2(b) + \cos(a) \cdot \cos(b) \cdot \sin(b) - \cos(a) \cdot \sin(b) \cdot \cos(b) \\ &= \sin(a) \cdot (\cos^2(b) + \sin^2(b)) + \cos(a) \cdot \sin(b) \cdot (\cos(b) - \sin(b)) \\ &= \sin(a) + \cos(a) \cdot \tan(b) \cdot (\cos(b) - \sin(b)) \end{align*} \]

Теперь мы видим, что у нас есть тангенс в выражении. Однако, мы хотим получить \(\tan(a)\) вместо \(\tan(b)\). Мы знаем, что \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), поэтому заменим \(\tan(b)\) на \(\frac{\sin(b)}{\cos(b)}\):

\[ \begin{align*} \sin(a) + \cos(a) \cdot \tan(b) \cdot (\cos(b) - \sin(b)) &= \sin(a) + \cos(a) \cdot \left(\frac{\sin(b)}{\cos(b)}\right) \cdot (\cos(b) - \sin(b)) \\ &= \sin(a) + \cos(a) \cdot \frac{\sin(b)}{\cancel{\cos(b)}} \cdot (\cancel{\cos(b)} - \sin(b)) \\ &= \sin(a) + \cos(a) \cdot \sin(b) - \cos(a) \cdot \sin^2(b) \\ &= \sin(a) + \cos(a) \cdot \sin(b) - \cos(a) \cdot (1 - \cos^2(b)) \quad \text{(используем тригонометрическое тождество} \ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\text{)} \\ &= \sin(a) + \cos(a) \cdot \sin(b) - \cos(a) + \cos^3(b) \\ &= \sin(a) - \cos(a) + \cos(a) \cdot \sin(b) + \cos^3(b) \\ &= \sin(a) - \cos(a) + \cos(a) \cdot \sin(b) + \cos(b) \cdot \cos^2(b) \quad \text{(используем тригонометрическое тождество} \ \cos^3(x) = \cos(x) \cdot \cos^2(x)\text{)} \\ &= \sin(a) - \cos(a) + \cos(a) \cdot \sin(b) + \cos(b) \cdot (1 - \sin^2(b)) \quad \text{(используем тригонометрическое тождество} \ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\text{)} \\ &= \sin(a) - \cos(a) + \cos(a) \cdot \sin(b) + \cos(b) - \cos(b) \cdot \sin^2(b) \\ &= \sin(a) - \cos(a) + \cos(a) \cdot \sin(b) + \cos(b) - \cos(b) \cdot (1 - \cos^2(b)) \quad \text{(используем тригонометрическое тождество} \ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\text{)} \\ &= \sin(a) - \cos(a) + \cos(a) \