Question

Решите уравнение целыми числами х^2+ху-у=2

Answer 1

Выразим игрек через икс:
$x^{2} +xy-y=2 \\ y(x-1)=2- x^{2} \\ y= \frac{2- x^{2} }{x-1}$

Выделим целую часть:
$y= \frac{2- x^{2} }{x-1} =-\frac{x^{2}-2 }{x-1}=-\frac{(x^{2}-1)-1 }{x-1}=-\frac{(x-1)*(x+1)-1 }{x-1}= \\ =-(x+1)+ \frac{1}{x-1}$

x и y - целые числа, значит, $\frac{1}{x-1}$ тоже д.б. целым. А это возможно только при условии, что (x - 1) = +/- 1. Откуда получаем:
$x_{1} =0 \\ x_{2} =2$

Вычисляем игрек:
$y_{1}=-(x+1)+ \frac{1}{x-1}=-(0+1)+\frac{1}{0-1}=-2 \\ y_{2}=-(x+1)+ \frac{1}{x-1}=-(2+1)+\frac{1}{2-1}=-2$

Ответ:
x1 = 0; y1 = -2
x2 = 2; y2 = -2

Answer 2

Для решения уравнения x^2 + xу - у = 2 с целыми числами, мы можем использовать метод перебора.

Мы заметим, что уравнение является квадратным относительно переменной x. Давайте решим его, считая у постоянной.

x^2 + xу - у = 2

Для нахождения корней квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = у, c = -у - 2

D = у^2 - 4(-у - 2)

D = у^2 + 4у + 8

Далее, мы можем рассмотреть различные значения у и найти соответствующие значения x.

1) Пусть у = 0:

D = 0^2 + 4(0) + 8 = 8

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

x1 = (-у + √D) / 2a = (0 + √8) / 2 = √2

x2 = (-у - √D) / 2a = (0 - √8) / 2 = -√2

2) Пусть у = 1:

D = 1^2 + 4(1) + 8 = 17

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

x1 = (-у + √D) / 2a = (1 + √17) / 2

x2 = (-у - √D) / 2a = (1 - √17) / 2

3) Пусть у = -1:

D = (-1)^2 + 4(-1) + 8 = 9

Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

x1 = (-у + √D) / 2a = (-1 + √9) / 2 = 1

x2 = (-у - √D) / 2a = (-1 - √9) / 2 = -2

Таким образом, уравнение x^2 + xу - у = 2 имеет следующие решения с целыми числами:

(√2, 0), (-√2, 0), ((1 + √17) / 2, 1), ((1 - √17) / 2, 1), (1, -1), (-2, -1)