Question

Постройте график функции y = |x² - x - 12 | и определите , при каких значениях параметра а прямая у = а имеет с графиком три или более общих точек .

Answer 1

График функции у=|f(x)| представляет собой видоизмененный график функции y=f(x): часть графика, находящаяся выше оси х, остается без изменений, а часть графика, находящаяся ниже оси х, отображается в верхнюю полуплоскость. Таким образом, весь график функции у=|f(x)| находится не ниже оси х.

Строим график функции у=x²-x-12:
Это стандартная парабола с вершиной в точке с координатами, которые мы сейчас определим:
$x_0=- \frac{b}{2a} =- \frac{-1}{2\cdot1} = \frac{1}{2} =0,5 \\\ y_0=y(x_0)=0,5^2-0,5-12=-12,25$
Для контроля можно просчитать пару точек:
$y(-3)=(-3)^2-(-3)-12=0 \\\ y(0)=-12 \\\ y(1)=1^2-1-12=-12 \\\ y(2)=2^2-2-12=-10 \\\ y(4)=4^2-4-12=0$
Рисуем график - оранжевая линия

Строим график функции у=|x²-x-12|:
Часть графика у=x²-x-12 из нижней полуплоскости (при -3<x<4) отображаем в верхнюю полуплоскость. Соответственно вершина параболы будет располагаться в точке с координатами (0,5; 12,25)
Рисуем график - зеленая линия

Находим значения параметра а:
Прямая у=а представляет собой прямую, параллельную оси х
- при а<0 - нет пересечений
- при а=0 - 2 пересечения
- при 0<а<12,25 - 4 пересечения
- при а=12,25 - 3 пересечения
- при а>12,25 - 2 пересечения
Ответ: $a\in(0;12,25]$

Answer 2

Функция y = |x² - x - 12| представляет собой модуль от выражения x² - x - 12.

Чтобы построить график этой функции, мы можем найти значения y для различных значений x и нарисовать точки, соответствующие этим значениям.

Построим таблицу значений: x | y ------- -4 | 20 -3 | 12 -2 | 6 -1 | 2 0 | 12 1 | 0 2 | 2 3 | 6 4 | 12

Теперь нарисуем график, соединяя эти точки:

| 20 | | 12 | * | * 6 | * | * 2 | * | * * -2 | * * | * * -4 | * * ------------------------ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Видим, что график функции имеет три общие точки с прямой y = a при значениях a = 2, a = 6 и a = 12. То есть, при a = 2, 6 или 12 прямая у = a будет пересекать график функции y = |x² - x - 12| три или более раз.