Question

Составьте уравнение касательной и нормами к графику функции y=x+3x^2-4

Answer 1

Запишем уравнение касательной в общем виде:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
По условию задачи x0 = 0, тогда y0 = -4
Теперь найдем производную:
y' = (3(x2)+x-4)' = 1+6x
следовательно:
f'(0) = 1+6 0 = 1
В результате имеем:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
yk = -4 + 1(x - 0)
или
yk = -4+x
Уравнение нормали:
yn = y0 - [1/y(x0)]*(x - x0) 
В результате имеем:
yn = - 4 - 1/1(x - 0)
или
yn = -4-x

Answer 2

Для составления уравнения касательной и нормали к графику функции \(y = x + 3x^2 - 4\) в точке с заданным значением \(x_0\), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции: \[y' = 1 + 6x.\] 2. Найти угловой коэффициент касательной: Подставим значение \(x_0\) в производную: \[m_{\text{касс}} = y'(x_0) = 1 + 6x_0.\] 3. Найти координаты точки касания: Подставим значение \(x_0\) в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \(y_0\): \[y_0 = x_0 + 3x_0^2 - 4.\] 4. Составить уравнение касательной: Уравнение касательной имеет вид: \[y - y_0 = m_{\text{касс}}(x - x_0).\]

5. Найти угловой коэффициент нормали: Угловой коэффициент нормали к графику функции в точке \(x_0\) равен отрицательному обратному угловому коэффициенту касательной: \[m_{\text{норм}} = -\frac{1}{m_{\text{касс}}}.\]

6. Составить уравнение нормали: Уравнение нормали имеет вид: \[y - y_0 = m_{\text{норм}}(x - x_0).\]

Теперь давайте применим эти шаги для некоторого конкретного значения \(x_0\). Например, возьмем \(x_0 = 1\).

1. Найдем производную: \[y' = 1 + 6x.\]

2. Найдем угловой коэффициент касательной: \[m_{\text{касс}} = 1 + 6 \cdot 1 = 7.\]

3. Найдем координаты точки касания: \[y_0 = 1 + 3 \cdot 1^2 - 4 = 0.\]

4. Составим уравнение касательной: \[y - 0 = 7(x - 1).\]

5. Найдем угловой коэффициент нормали: \[m_{\text{норм}} = -\frac{1}{7}.\]

6. Составим уравнение нормали: \[y - 0 = -\frac{1}{7}(x - 1).\]

Таким образом, уравнение касательной и нормали к графику функции \(y = x + 3x^2 - 4\) в точке \(x_0 = 1\) будет соответственно: \[y = 7x - 7\] (касательная) и \[y = -\frac{1}{7}x + \frac{1}{7}\] (нормаль).