Question

при каком значении параметра р система уравнений х² + у²=6, у-х² =р; имеет одно решение?

Answer 1

Уравнение первой это окружность с радиусом √6, а второе это парабола ветви которой направлены     вверх   , тогда очевидно что  бы она имела одно решение нужно что бы касалось в одной точке и это будет  p=√6

Answer 2

Система уравнений \(x^2 + y^2 = 6\) и \(y - x^2 = p\) представляет собой уравнение окружности и параболы в декартовой системе координат. Решение этой системы уравнений зависит от значения параметра \(p\).

Объединим уравнения системы:

\[x^2 + y^2 = 6\] \[y - x^2 = p\]

Теперь мы можем подставить выражение для \(y\) из второго уравнения в первое:

\[x^2 + (x^2 + p)^2 = 6\]

Упростим уравнение:

\[x^2 + x^4 + 2px^2 + p^2 = 6\]

Теперь объединим подобные члены и приведем уравнение к стандартному виду:

\[x^4 + (2 + p)x^2 + p^2 - 6 = 0\]

Это уравнение четвертой степени относительно переменной \(x\). Чтобы система имела одно решение, уравнение должно иметь единственный корень.

Уравнение четвертой степени может иметь один корень, если его дискриминант равен нулю. Дискриминант уравнения четвертой степени \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) равен:

\[D = 256a^3e^3 - 192a^2b^2e^2 - 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 + 144ab^2ce^2 - 6ab^2d^2e - 80abc^2de + 18abcd^2 + 16ac^4e - 4ac^3d^2 - 27b^4e^2 + 18b^3cd^2 - 4b^3d^4 - 4b^2c^3e + b^2c^2d^2\]

В данном случае у нас есть уравнение \(x^4 + (2 + p)x^2 + p^2 - 6 = 0\), где \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 2 + p\), \(d = 0\), \(e = p^2 - 6\). Подставим значения в формулу дискриминанта и приравняем его к нулю:

\[D = 256 \cdot 1^3 \cdot (p^2 - 6)^3 - 192 \cdot 1^2 \cdot 0^2 \cdot (p^2 - 6)^2 - 128 \cdot 1^2 \cdot (2 + p)^2 \cdot (p^2 - 6)^2 + 144 \cdot 1^2 \cdot (2 + p) \cdot 0^2 \cdot (p^2 - 6) - 27 \cdot 1^2 \cdot 0^4\]

Упростим и приравняем к нулю:

\[256(p^2 - 6)^3 - 128(2 + p)^2(p^2 - 6)^2 = 0\]

Решение этого уравнения позволит нам найти значения параметра \(p\), при которых система имеет одно решение. Учтите, что вычисление конкретных численных значений может потребовать использования численных методов или специализированных программных средств.