Question

1)sin^3(x/3)-sin^2(x/3)cos(x/3)-3sin(x/3)cos^2(x/3)+3cos^3(x/3)=0.2) sin(x)-sin(2x)=2sin^2(x/2).3) 2sin(4x)+16sin^3(x)cos(x)+3cos(2x)-5=0.

Answer 1

1) sin^3(x/3) - sin^2(x/3)*cos(x/3) - 3sin(x/3)*cos^2(x/3) + 3cos^3(x/3) = 0
sin^2(x/3)*(sin(x/3) - cos(x/3)) - 3cos^2(x/3)*(sin(x/3) - cos(x/3)) = 0
(sin(x/3) - cos(x/3))*(sin^2(x/3) - 3cos^2(x/3)) = 0
Если произведение равно 0, то хотя бы один множитель равен 0.
1) sin(x/3) - cos(x/3) = 0
sin(x/3) = cos(x/3)
tg(x/3) = 1; x/3 = pi/4 + pi*k; x1 = 3pi/4 + 3pi*k
2) sin^2 (x/3) - 3cos^2 (x/3) = 0
sin^2(x/3) = 3cos^2(x/3)
tg^2 (x/3) = 3
2a) tg (x/3) = -√3; x/3 = -pi/3 + pi*n; x2 = -pi + 3pi*n
2b) tg (x/3) = √3; x/3 = pi/3 + pi*m; x3 = pi + 3pi*m
Ответы 2a) и 2b) можно объединить: x2 = +-pi + 3pi*n

2) sin(x) - sin(2x) = 2sin^2 (x/2)
По формуле разности синусов
$sin(a)-sin(b)=2sin \frac{a-b}{2}*cos \frac{a+b}{2}$
Подставляем
$2sin \frac{x-2x}{2}*cos \frac{x+2x}{2}=-2 sin \frac{x}{2}*cos \frac{3x}{2}$
-2sin(x/2)*cos(3x/2) - 2sin^2 (x/2) = 0
-2sin(x/2)*(cos(3x/2) + sin(x/2)) = 0
1) sin(x/2) = 0; x/2 = pi*k; x1 = pi*k/2
2) cos(3x/2) + sin(x/2) = 0
Это можно преобразовать в произведение
2sin(pi/4 - x/2)*sin(pi/4 + x) = 0
2a) pi/4 - x/2 = -pi*n; x/2 = pi/4 + pi*n; x2 = pi/2 + 2pi*n
2b) pi/4 + x = pi*m; x3 = -pi/4 + pi*m

3) 2sin(4x) + 16sin^3(x)*cos(x) + 3cos(2x) - 5 = 0
Это намного сложнее, у меня сейчас времени нет, решу позже.
Если модераторы дадут исправить.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и найдем его решение.

Уравнение 1: sin^3(x/3) - sin^2(x/3)cos(x/3) - 3sin(x/3)cos^2(x/3) + 3cos^3(x/3) = 0

Перепишем его в виде:

sin^3(x/3) - sin^2(x/3)cos(x/3) - 3sin(x/3)cos^2(x/3) + 3cos^3(x/3) - 0 = 0

Факторизуем его, чтобы упростить решение:

sin(x/3)[sin^2(x/3) - sin(x/3)cos(x/3) - 3cos^2(x/3)] + 3cos^3(x/3) - 0 = 0

Раскроем скобки:

sin(x/3)[sin^2(x/3) - sin(x/3)cos(x/3) - 3cos^2(x/3)] + 3cos^3(x/3) = 0

Заметим, что первое слагаемое можно разложить по формуле сокращенного умножения:

sin^2(x/3) - sin(x/3)cos(x/3) - 3cos^2(x/3) = sin(x/3)[sin(x/3) - cos(x/3)][sin(x/3) + 3cos(x/3)]

Подставим это в уравнение:

sin(x/3)[sin(x/3) - cos(x/3)][sin(x/3) + 3cos(x/3)] + 3cos^3(x/3) = 0

Теперь у нас есть два случая:

1) sin(x/3) = 0

Это равенство выполняется, когда x/3 = kπ, где k - целое число. Значит, x = 3kπ.

2) [sin(x/3) - cos(x/3)][sin(x/3) + 3cos(x/3)] + 3cos^3(x/3) = 0

Это равенство выполняется, когда каждый множитель равен нулю:

sin(x/3) - cos(x/3) = 0 => sin(x/3) = cos(x/3)

Разделим обе части на cos(x/3):

tan(x/3) = 1

Это равенство выполняется, когда x/3 = π/4 + kπ, где k - целое число. Значит, x = 3(π/4 + kπ) = 3π/4 + 3kπ.

Уравнение 2: sin(x) - sin(2x) = 2sin^2(x/2)

Перепишем его в виде:

sin(x) - sin(2x) - 2sin^2(x/2) = 0

Заменим sin(2x) и sin^2(x/2) на эквивалентные выражения:

sin(x) - 2sin(x)cos(x) - 2sin^2(x/2) = 0

Подставим sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2:

sin(x) - 2sin(x)cos(x) - (1 - cos(x)) = 0

Раскроем скобки:

sin(x) - 2sin(x)cos(x) - 1 + cos(x) = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

sin(x) - 2sin(x)cos(x) + cos(x) - 1 = 0

Сгруппируем слагаемые:

sin(x) - [2sin(x)cos(x) - cos(x)] - 1 = 0

sin(x) - cos(x)[2sin(x) - 1] - 1 = 0

Теперь у нас есть два случая:

1) sin(x) = 0

Это равенство выполняется, когда x = kπ, где k - целое число.

2) 2sin(x) - 1 = 0

Решим это уравнение для sin(x):

2sin(x) = 1

sin(x) = 1/2

Это равенство выполняется, когда x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Уравнение 3: 2sin(4x) + 16sin^3(x)cos(x) + 3cos(2x) - 5 = 0

Перепишем его в виде:

2sin(4x) + 16sin^3(x)cos(x) + 3cos(2x) - 5 = 0

Заменим sin(4x) и cos(2x) на эквивалентные выражения:

2(2sin(x)cos(x))(cos^2(x) - sin^2(x)) + 16sin^3(x)cos(x) + 3(2cos^2(x) - 1) - 5 = 0

Раскроем скобки и упростим:

4sin(x)cos^3(x) - 4sin^3(x)cos(x) + 16sin^3(x)cos(x) + 6cos^2(x) - 3 - 5 = 0

4sin(x)cos^3(x) + 12sin^3(x)cos(x) + 6cos^2(x) - 8 = 0

Разделим все слагаемые на 2:

2sin(x)cos^3(x) + 6sin^3(x)cos(x) + 3cos^2(x) - 4 = 0

Теперь у нас есть два случая:

1) cos(x) = 0

Это равенство выполняется, когда x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

2) 2sin(x)cos^2(x) + 6sin^3(x) + 3cos^2(x) - 4 = 0

Упростим это уравнение:

2sin(x)cos^2(x) + 6sin^3(x) + 3cos^2(x) - 4 = 0

Вынесем общий множитель sin(x):

sin(x)(2cos^2(x) + 6sin^2(x)) + 3cos^2(x) - 4 = 0

Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

sin(x)(2cos^2(x) + 6(1 - cos^2(x))) + 3cos^2(x) - 4 = 0

Раскроем скобки и упростим:

2sin(x)cos^2(x) + 6sin(x) - 6sin(x)cos^2(x) + 3cos^2(x) - 4 = 0

6sin(x) - 3cos^2(x) - 4 = 0

Теперь у нас есть два случая:

1) sin(x) = 0

Это равенство выполняется, когда x = kπ, где k - целое число.

2) 6sin(x) - 3cos^2(x) = 4

Используя тригонометрическую подстановку, заменим sin(x) на √(1 - cos^2(x)):

6√(1 - cos^2(x)) - 3cos^2(x) = 4

Возведем в квадрат обе части уравнения:

36(1 - cos^2(x)) - 9cos^4(x) = 16

36 - 36cos^2(x) - 9cos^4(x) = 16

9cos^4(x) + 36cos^2(x) - 20 = 0

Проведем замену y = cos^2(x):

9y^2 + 36y - 20 = 0

Решим это квадратное уравнение:

D = (36)^2 - 4 * 9 * (-20) = 1296 + 720 = 2016

y1 = (-36 + √2016) / 18 y2 = (-36 - √2016) / 18

Вычислим значения для y1 и y2: