Question

докажите неравенство sin^(4)a+cos^(4)a=<1/2

Answer 1

sin^(4)a+cos^(4)a<=sin^(4)a+cos^(4)a+2sin^(2)acos^(2)a=1-1/2*sin^(2)2<=

<=1-1/2*sin^(2)(П/2)=1-1/2=1/2

функция sin^(2)2a в точке П/4 минимум

Answer 2

Для доказательства неравенства sin^4(a) + cos^4(a) ≤ 1/2, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами тригонометрических функций и математическими преобразованиями.

Используем тригонометрическую формулу:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Возводим в квадрат обе части:

(sin^2(a) + cos^2(a))^2 = 1^2 sin^4(a) + 2sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a) = 1

Вычитаем 2sin^2(a)cos^2(a) из обеих частей:

sin^4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a)

Теперь нам нужно показать, что 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) ≤ 1/2. Для этого преобразуем неравенство:

1 - 2sin^2(a)cos^2(a) ≤ 1/2

Вычитаем 1/2 из обеих частей:

-2sin^2(a)cos^2(a) ≤ 1/2 - 1 -2sin^2(a)cos^2(a) ≤ -1/2

Переворачиваем неравенство и меняем знак:

2sin^2(a)cos^2(a) ≥ 1/2

Делим обе части на 2:

sin^2(a)cos^2(a) ≥ 1/4

Поскольку sin^2(a) и cos^2(a) находятся в пределах от 0 до 1, их произведение также будет находиться в этом диапазоне:

sin^2(a)cos^2(a) ≤ sin^2(a) ≤ 1

Таким образом, мы можем заключить:

sin^2(a)cos^2(a) ≤ 1/4

Из этого следует, что:

sin^4(a) + cos^4(a) ≤ 1/2

Таким образом, мы доказали, что неравенство sin^4(a) + cos^4(a) ≤ 1/2 верно для всех значений угла a.