Question

Помогите исследовать график функции y=((x+1)^2)/(x-1)

Answer 1

Решение:
y(x)=x²/(x-1)
1) Область определения: (- ∞;1) (1;∞)
2) Множество значений: (0;∞)
3) Проверим является ли функция четной или нечетной:
y(х) = x²/(x-1)
y(-x)=x²/(-x-1) , так как y(х) ≠y(-х) и y(-х) ≠-y(х) , то функция не является ни четной ни не четной.
4)Найдем координаты точек пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: у=0, получаем: x²/(x-1) =0,
x²=0
x=0 график пересекат ось обсцисс и ординат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции:
y'=(2x(x-1)-x²)/(x-1)²=(x²-2x)/(x-1)²; y'=0
(x²-2x)/(x-1)²=0,
x²-2x=0
x1=0
x2=2 Получили 2 стационарные точки, проверим их на экстремум:
Так как на промежутках (- ∞;0) (2;∞) y'>0, то на этих промежутках функция возрастает.
Так как на промежутках (0;1) (1;2) у'< 0, то на этих промежутках функция убывает.
Точка х=0 является точкой максимума у (0)=0
Точка х=2 является точкой минимума у (2)=4
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
fу"=((2x-2)(x-1)²-2(x-1)(x²-2x))/(x-1)^4=2/(x-1)³; y"=0
2/(x-1)³=0, уравнение не имеет корней, следовательно точек перегиба функция не имеет.
Так как на промежутке (1;∞) , y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.
Так как на промежутке (- ∞;1) y"< 0 то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх
7) Проверим имеет ли график функции асимптоты:
а) вертикальные. Найдем односторонние пределы в точке разрыва х=1
lim (прих->1-0) (x²/(x-1))=-∞
lim (прих->1+0) (x²/(x-1))=∞ так как пределы бесконечны то прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
б) Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты вида у=kx+b
k=lim (при х->∞)(y(x)/x)=lim (при х->∞)( x²/(x(x-1))=1
b=lim (при х->∞)(y(x)-kx)=lim (при х->∞)(x²/(x-1)-x)=1
Итак прямая у=x+1 является наклонной асимптотой.
Все стройте график.

Answer 2

Конечно, я готов помочь вам исследовать график функции \(y = \frac{{(x + 1)^2}}{{x - 1}}\). Давайте пройдемся по основным шагам исследования функции.

1. Нахождение области определения: Функция имеет знаменатель, и мы не можем делить на ноль. Поэтому область определения будет всеми значениями \(x\), за исключением тех, при которых \(x - 1 = 0\). Следовательно, \(x \neq 1\).

Область определения: \(D: x \in \mathbb{R}, x \neq 1\).

2. Нахождение точек пересечения с осями координат: - Для оси \(x\) (\(y = 0\)): \(\frac{{(x + 1)^2}}{{x - 1}} = 0\). Решите это уравнение для нахождения точек пересечения с осью \(x\). - Для оси \(y\) (\(x = 0\)): \(y = \frac{{(0 + 1)^2}}{{0 - 1}}\).

3. Нахождение первой производной: Для определения экстремумов и точек перегиба найдем первую производную: \[y' = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{(x + 1)^2}}{{x - 1}}\right)\]

4. Нахождение второй производной: Если мы хотим выяснить, где функция выпукла или вогнута, находим вторую производную: \[y'' = \frac{{d^2}}{{dx^2}}\left(\frac{{(x + 1)^2}}{{x - 1}}\right)\]

5. Нахождение точек экстремума и точек перегиба: Решаем уравнения \(y' = 0\) и \(y'' = 0\) для нахождения точек экстремума и точек перегиба.

6. Определение интервалов возрастания и убывания: Используем производную, чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

7. Определение знаков производной: Используем производную, чтобы определить знаки производной на различных интервалах.

8. Найдем пределы функции: Исследуем пределы функции при стремлении \(x\) к бесконечности и отрицательной бесконечности.

9. Построение графика: Используем полученную информацию для построения графика функции.

Пожалуйста, дайте мне знать, если вы хотите подробности по какому-то из этих шагов.