Question

Докажите, что если функция f(x) возрастает на промежутке 1 , то функция g(x)=af(x)+b при а > 0 также возрастает на 1 а при а<0- убывает на промежутке 1 при любом значении b

Answer 1

Ого... так сложно
не повезло

Answer 2

Предпосылки и определения

Дано, что функция f(x) возрастает на промежутке [1, +∞). Нам необходимо доказать, что функция g(x) = af(x) + b также возрастает на [1, +∞) при a > 0 и убывает на [1, +∞) при a < 0 для любого значения b.

Для начала, давайте уточним, что значит "функция возрастает" и "функция убывает".

Определение: Функция возрастает на интервале Функция f(x) называется возрастающей на интервале I, если для любых двух точек x₁ и x₂ из I, таких что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂).

Определение: Функция убывает на интервале Функция f(x) называется убывающей на интервале I, если для любых двух точек x₁ и x₂ из I, таких что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) > f(x₂).

Понимая эти определения, мы можем приступить к доказательству.

Доказательство

Для начала, рассмотрим случай a > 0.

Пусть x₁ и x₂ - произвольные точки из интервала [1, +∞) такие, что x₁ < x₂. Нам нужно показать, что g(x₁) < g(x₂).

Распишем g(x₁) и g(x₂):

g(x₁) = af(x₁) + b g(x₂) = af(x₂) + b

Так как f(x) возрастает на интервале [1, +∞), то f(x₁) < f(x₂). Умножим обе части неравенства на положительное число a (так как a > 0), получим:

a * f(x₁) < a * f(x₂)

Теперь сложим обе части неравенства с b, получим:

a * f(x₁) + b < a * f(x₂) + b

Заметим, что это и есть неравенство g(x₁) < g(x₂). Таким образом, мы доказали, что функция g(x) = af(x) + b возрастает на интервале [1, +∞), когда a > 0.

Теперь рассмотрим случай a < 0.

Пусть x₁ и x₂ - произвольные точки из интервала [1, +∞) такие, что x₁ < x₂. Нам нужно показать, что g(x₁) > g(x₂).

Распишем g(x₁) и g(x₂):

g(x₁) = af(x₁) + b g(x₂) = af(x₂) + b

Так как f(x) возрастает на интервале [1, +∞), то f(x₁) < f(x₂). Умножим обе части неравенства на отрицательное число a (так как a < 0), получим:

a * f(x₁) > a * f(x₂)

Теперь сложим обе части неравенства с b, получим:

a * f(x₁) + b > a * f(x₂) + b

Заметим, что это и есть неравенство g(x₁) > g(x₂). Таким образом, мы доказали, что функция g(x) = af(x) + b убывает на интервале [1, +∞), когда a < 0.

Обобщение для любого значения b

Так как мы только что показали, что функция g(x) возрастает на интервале [1, +∞) при a > 0 и убывает на интервале [1, +∞) при a < 0, то это верно для любого значения b. Значение b не влияет на то, как функция g(x) меняется с ростом x, если только a не равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что если функция f(x) возрастает на промежутке [1, +∞), то функция g(x) = af(x) + b при a > 0 также возрастает на [1, +∞), а при a < 0 убывает на промежутке [1, +∞) при любом значении b.