Question

Докажите тождество: а⁸-в⁸=(а-в)(а+в)(а²+в²)(а⁴+в⁴)

Answer 1

А⁸-в⁸=(а-в)(а+в)(а²+в²)(а⁴+в⁴) а⁸-в⁸=(a²-b²)(a²+b²)(a⁴+b⁴) а⁸-в⁸=(a⁴-b⁴)(a⁴+b⁴) а⁸-в⁸=а⁸-в⁸ Доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать метод разности квадратов и факторизацию. Давайте разложим каждую сторону равенства и затем сравним их.

Сначала разложим левую сторону равенства (а⁸ - в⁸) с помощью разности квадратов. Заметим, что это разность восьмой степени двух переменных:

а⁸ - в⁸ = (а⁴)² - (в⁴)²

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов, которая гласит: a² - b² = (a + b)(a - b). Применим эту формулу к нашему выражению:

(а⁴)² - (в⁴)² = (а⁴ + в⁴)(а⁴ - в⁴)

Теперь разложим полученные множители (а⁴ + в⁴) и (а⁴ - в⁴) еще раз с помощью разности квадратов:

(а⁴ + в⁴) = (а²)² + 2(а²)(в²) + (в²)² = (а² + в²)²

(а⁴ - в⁴) = (а²)² - 2(а²)(в²) + (в²)² = (а² - в²)²

Таким образом, левая сторона равенства принимает следующий вид:

а⁸ - в⁸ = (а⁴ + в⁴)(а⁴ - в⁴) = (а² + в²)²(а² - в²)²

Теперь разложим правую сторону равенства (а-в)(а+в)(а²+в²)(а⁴+в⁴):

(а-в)(а+в)(а²+в²)(а⁴+в⁴) = (а² - в²)(а² + в²)(а⁴ + в⁴)

Мы видим, что правая сторона равенства тождественно равна (а² + в²)²(а² - в²)², что совпадает с левой стороной равенства.

Таким образом, мы показали, что а⁸ - в⁸ = (а-в)(а+в)(а²+в²)(а⁴+в⁴) с помощью факторизации и разности квадратов.