Question

найдите наименьшее значение функции y=4x-ln(4x+2)-8

Answer 1

                                      Решениие:

y'=4-4/(4x+2)
y'=0
1/(4x+2)=1
4x+2=1
x=-1/4
y=-1-8-ln(1)=-9.

Answer 2

Для того чтобы найти наименьшее значение функции y = 4x - ln(4x + 2) - 8, мы можем использовать метод дифференцирования.

Вычисление производной

Для начала, возьмем производную функции y по переменной x. Производная позволяет нам найти скорость изменения функции в каждой точке. В данном случае, мы хотим найти точку, где функция имеет наименьшее значение, что соответствует нулевой скорости изменения.

Для вычисления производной, нам понадобится использовать два основных правила дифференцирования: правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования произведения.

1. Правило дифференцирования суммы: Если у нас есть функция f(x) = g(x) + h(x), то производная этой функции равна сумме производных каждой из функций g(x) и h(x).

2. Правило дифференцирования произведения: Если у нас есть функция f(x) = g(x) * h(x), то производная этой функции можно вычислить по формуле f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x).

Применим эти правила для нашей функции:

y = 4x - ln(4x + 2) - 8

Вычислим производную y' по переменной x:

y' = 4 - (1 / (4x + 2)) * (4)

Упростим это выражение:

y' = 4 - 4 / (4x + 2)

y' = 4(1 - 1 / (4x + 2))

Нахождение критических точек

Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции, мы ищем критические точки, где производная равна нулю или не определена.

Найдем точки, где производная равна нулю:

4(1 - 1 / (4x + 2)) = 0

1 - 1 / (4x + 2) = 0

1 / (4x + 2) = 1

4x + 2 = 1

4x = -1

x = -1/4

Теперь проверим, что производная не определена в точке:

4x + 2 ≠ 0

-1/4 * 4 + 2 ≠ 0

-1 + 2 ≠ 0

1 ≠ 0

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = -1/4.

Проверка на минимум

Теперь, чтобы убедиться, что x = -1/4 соответствует минимуму функции, мы можем использовать вторую производную.

Вычислим вторую производную y'':

y'' = -4 / (4x + 2)^2

Подставим x = -1/4 в выражение для y'':

y'' = -4 / (4(-1/4) + 2)^2

y'' = -4 / (0 + 2)^2

y'' = -4 / 4^2

y'' = -4 / 16

y'' = -1/4

Вторая производная отрицательна, что означает, что x = -1/4 соответствует минимуму функции.

Наименьшее значение функции

Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции, мы подставляем x = -1/4 в исходное выражение для y:

y = 4(-1/4) - ln(4(-1/4) + 2) - 8

y = -1 - ln(-1 + 2) - 8

y = -1 - ln(1) - 8

y = -1 - 0 - 8

y = -9

Таким образом, наименьшее значение функции y = 4x - ln(4x + 2) - 8 равно -9.