Question

Ребята! Помогите решить cos x-1=sin x/2

Answer 1

Cosx=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
1=sin^2(x/2)+cos^2(x/2)
cosx+1=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)-(sin^2(x/2)+cos^2(x/2))=sin(x/2)
-2sin^2(x/2)=sin(x/2)
a=sin(x/2)
-2aˆ2-a=0
a(2a+1)=0
a1=0
a2=-1/2
1) sin(x/2)=a1=0
x/2=Pi/2+PiN
x=Pi+2PiN
2)sin(x/2)=a2=-1/2
x/2=-7Pi/6, 11Pi/6
x=7Pi/3, 11Pi/3

Answer 2

$cosx-1=sin \frac{x}{2}$
$-(1-cosx)=sin \frac{x}{2}$
$[sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1-cosx}{2}]$
$-2sin^2 \frac{x}{2} -sin \frac{x}{2} =0$
$2sin^2 \frac{x}{2}+sin \frac{x}{2} =0$
$sin \frac{x}{2}(2sin \frac{x}{2}+1) =0$
1)
$sin \frac{x}{2} =0$ 
$\frac{x}{2} = \pi k,$ $k$ ∈ $Z$
$x=2 \pi k,$ $k$ ∈ $Z$
2)
$2sin \frac{x}{2}+1 =0$
$2sin \frac{x}{2}=-1$
$sin \frac{x}{2}=- \frac{1}{2}$
$\frac{x}{2} =(-1)^{n+1} \frac{ \pi }{6} + \pi n,$ $n$ ∈ $Z$
$x} =(-1)^{n+1} \frac{ \pi }{3} + 2\pi n,$ $n$ ∈ $Z$

Answer 3

Уравнение, которое вы предоставили, выглядит как \( \cos(x) - 1 = \frac{\sin(x)}{2} \). Давайте решим его.

Первым шагом давайте перепишем уравнение в более удобном виде:

\[ \cos(x) - 1 = \frac{\sin(x)}{2} \]

У нас есть идентичность \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \), которую мы можем использовать, чтобы выразить \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\):

\[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \] \[ \sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \]

Теперь подставим это значение для \(\sin(x)\) в исходное уравнение:

\[ \cos(x) - 1 = \frac{\sqrt{1 - \cos^2(x)}}{2} \]

Чтобы решить это уравнение, давайте преобразуем его:

\[ 2(\cos(x) - 1) = \sqrt{1 - \cos^2(x)} \] \[ 4(\cos^2(x) - 2\cos(x) + 1) = 1 - \cos^2(x) \] \[ 4\cos^2(x) - 8\cos(x) + 4 = 1 - \cos^2(x) \] \[ 5\cos^2(x) - 8\cos(x) + 3 = 0 \]

Теперь давайте проведем замену, представив \(\cos(x)\) как переменную \(t\):

\[ 5t^2 - 8t + 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Решим его, используя квадратное уравнение:

\[ t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5} \] \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{10} \] \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10} \] \[ t = \frac{8 \pm 2}{10} \]

Итак, получаем два возможных значения \( t \):

1. \( t_1 = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1 \) 2. \( t_2 = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0.6 \)

Теперь, зная, что \( t = \cos(x) \), найдем соответствующие значения \( x \):

1. Когда \( \cos(x) = 1 \), \( x = 0 + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z} \). 2. Когда \( \cos(x) = 0.6 \), используем \( \cos^{-1} \) (обратный косинус) для нахождения \( x \).

Итак, решив уравнение \( \cos(x) - 1 = \frac{\sin(x)}{2} \), мы получили два решения: \( x = 0 + 2\pi k \) и другие значения, которые можно выразить через \( \cos^{-1}(0.6) \), чтобы найти углы \( x \), удовлетворяющие уравнению.