Question

Вычеслить площадь фигуры ограниченной линиями Помогите срочно решить 1)y=sqrt(2x), y=(1/2)x^2 2)y=x^3, x=1, y=0

Answer 1

$\int\limits^1_0 {x^3} \, dx =x^4/4|1-0=1/4-0=1/4$

Answer 2

************************

Answer 3

Да, конечно, я помогу вам вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными функциями и линиями. Для этого нужно найти точки пересечения данных кривых и границы области интегрирования. Затем используем определенный интеграл для вычисления площади.

Уравнения, которые ограничивают область, следующие: 1. \(y = \sqrt{2x}\) 2. \(y = \frac{1}{2}x^2\) 3. \(y = x^3\) 4. \(x = 1\) 5. \(y = 0\)

Давайте найдем точки пересечения кривых. Сначала найдем точки пересечения между \(y = \sqrt{2x}\) и \(y = \frac{1}{2}x^2\).

\(\sqrt{2x} = \frac{1}{2}x^2\)

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\(2x = \frac{1}{4}x^4\)

Умножаем обе стороны на 4:

\(8x = x^4\)

\(x^4 - 8x = 0\)

Факторизуем:

\(x(x^3 - 8) = 0\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = 2\). Теперь найдем соответствующие значения y:

Для \(x = 0\): \(y = \sqrt{2 \cdot 0} = 0\)

Для \(x = 2\): \(y = \sqrt{2 \cdot 2} = 2\)

Таким образом, первая точка пересечения: (0, 0), а вторая точка: (2, 2).

Теперь найдем точки пересечения между \(y = \sqrt{2x}\) и \(y = x^3\).

\(\sqrt{2x} = x^3\)

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\(2x = x^6\)

\(x^6 - 2x = 0\)

\(x(x^5 - 2) = 0\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = \sqrt[5]{2}\). Так как \(x = \sqrt[5]{2}\) является положительным корнем, мы его оставляем. Теперь найдем соответствующие значения y:

Для \(x = 0\): \(y = \sqrt{2 \cdot 0} = 0\)

Для \(x = \sqrt[5]{2}\): \(y = \sqrt{2 \cdot \sqrt[5]{2}}\)

Теперь у нас есть три точки пересечения: (0, 0), \(\left(\sqrt[5]{2}, \sqrt{2 \cdot \sqrt[5]{2}}\right)\) и (2, 2).

Теперь найдем точки пересечения между \(y = \frac{1}{2}x^2\) и \(y = x^3\).

\(\frac{1}{2}x^2 = x^3\)

Умножим обе стороны на 2:

\(x^2 = 2x^3\)

\(2x^3 - x^2 = 0\)

Факторизуем:

\(x^2(2x - 1) = 0\)

Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{2}\). Теперь найдем соответствующие значения y:

Для \(x = 0\): \(y = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0\)

Для \(x = \frac{1}{2}\): \(y = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}\)

Теперь у нас есть четыре точки пересечения: (0, 0), \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{8}\right)\), \(\left(\sqrt[5]{2}, \sqrt{2 \cdot \sqrt[5]{2}}\right)\) и (2, 2).

Теперь у нас есть границы области интегрирования: \(x = 0\), \(x = \frac{1}{2}\), \(x = \sqrt[5]{2}\) и \(x = 2\). Мы будем интегрировать по x от 0 до \(\frac{1}{2}\) и от \(\sqrt[5]{2}\) до 2.

Теперь можем вычислить площадь фигуры с использованием определенного интеграла:

\[S = \int_0^{\frac{1}{2}} \left(\sqrt{2x} - \frac{1}{2}x^2\right)dx + \int_{\sqrt[5]{2}}^2 \left(\sqrt{2x} - x^3\right)dx\]

Вычислите эти интегралы, чтобы получить окончательный ответ.