Question

10cos^2 x - 16sinx = cos2x + 15

Answer 1

$10cos^{2}x-16sinx=cos2x+15 \\ 10cos^{2}x-16sinx-cos2x-15=0 \\ \\ (cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x) \\ \\ 10cos^{2}x-16sinx-cos^{2}x+sin^{2}x-15=0 \\ 9cos^{2}x-16sin^{2}x-15=0 \\ \\ (cos^{2}x=1-sin^{2}x) \\ \\ 1-sin^{2}x-16sin^{2}x-15=0 \\ -17sin^{2}x-14=0 \\ 17sin^{2}x=-14 \\ sin^{2}x=- \frac{14}{17} \\ sinx\neq\sqrt{-\frac{14}{17}}$
 
Уравнение не имеет решений, так как выражение под корнем не может быть меньше нуля.

Answer 2

Для начала, давайте преобразуем данное уравнение, чтобы упростить его выражение.

У нас есть уравнение: 10cos^2(x) - 16sin(x) = cos(2x) + 15.

Для упрощения, заменим cos(2x) на 2cos^2(x) - 1 (по формуле двойного угла для косинуса).

Теперь у нас получается: 10cos^2(x) - 16sin(x) = 2cos^2(x) - 1 + 15.

Сгруппируем подобные члены: 10cos^2(x) - 2cos^2(x) - 16sin(x) = 15 - 1.

Это дает нам: 8cos^2(x) - 16sin(x) = 14.

Далее, мы можем поделить оба выражения на 2, чтобы упростить уравнение: 4cos^2(x) - 8sin(x) = 7.

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать уравнение.

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Поделим оба выражения на cos^2(x):

4 - 8tan(x) = 7/cos^2(x).

Теперь заменим tan(x) на sin(x)/cos(x):

4 - 8sin(x)/cos(x) = 7/cos^2(x).

Умножим оба выражения на cos(x):

4cos(x) - 8sin(x) = 7.

Теперь это уравнение линейной комбинации синуса и косинуса. Мы можем преобразовать его, используя тригонометрические тождества.

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Заменим 2sin(x)cos(x) на sin(2x):

4cos(x) - sin(2x) = 7.

Теперь мы можем использовать тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x) снова:

4cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 7.

Факторизуем общий множитель:

cos(x)(4 - 2sin(x)) = 7.

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) Если cos(x) = 0, то уравнение превращается в 0 = 7, что невозможно. Таким образом, cos(x) не может быть равным нулю.

2) Если 4 - 2sin(x) = 0, то sin(x) = 2/2 = 1. Это означает, что x = pi/2 + 2pi*n, где n - целое число.

Таким образом, решение уравнения 10cos^2(x) - 16sin(x) = cos(2x) + 15 равно x = pi/2 + 2pi*n, где n - целое число, и cos(x) не равно нулю.