Question

При каких значениях x выражение -x^2+6x принимает отрицательные значения: А. (-∞;0]∪[6;+∞); В.(0;6); С.[-6;0]; D. (-∞;0)∪(6;+∞)?

Answer 1

Отрицательные значения приобретает на промежутке А

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение \(-x^2 + 6x\). Это квадратичная функция, представленная в форме \(-ax^2 + bx + c\), где \(a = -1\), \(b = 6\), и \(c = 0\).

Для определения того, при каких значениях \(x\) выражение принимает отрицательные значения, мы можем использовать метод анализа знаков. Для этого разбиваем выражение на множители:

\[ -x^2 + 6x = -x(x - 6) \]

Теперь мы видим, что знак выражения зависит от знака множителя \(-x\) и множителя \((x - 6)\).

1. Множитель \(-x\) меняет знак при каждом изменении \(x\). 2. Множитель \((x - 6)\) меняет знак при \(x = 6\).

Теперь мы можем проанализировать знаки в интервалах между корнями уравнения \(x - 6 = 0\), то есть при \(x = 0\) и \(x = 6\). Таким образом, интервалы между корнями разбивают область определения функции.

1. При \(x < 0\): Оба множителя отрицательны (\(-x < 0\) и \(x - 6 < 0\)), произведение положительно. Таким образом, на интервале \((-\infty, 0)\) функция принимает положительные значения.

2. При \(0 < x < 6\): Множитель \(-x\) отрицателен (\(-x < 0\)), а множитель \((x - 6)\) положителен (\(x - 6 < 0\)). Произведение отрицательно. Таким образом, на интервале \((0, 6)\) функция принимает отрицательные значения.

3. При \(x > 6\): Оба множителя положительны (\(-x > 0\) и \(x - 6 > 0\)), произведение положительно. Таким образом, на интервале \((6, \infty)\) функция принимает положительные значения.

Таким образом, выражение \(-x^2 + 6x\) принимает отрицательные значения на интервале \((0, 6)\). Ответ: B. \( (0, 6) \).