Question

В остроугольном треугольнике авс точки p m основания высот опущенных из вершин а и с соответственно площадь треугольника bmp 10, а угол b 60 градусов найти площадь авс.

Answer 1

Одна из формул: Площадь треугольника равна  половине произведения соседних сторон на  синус угла между ними.

 В прямоугольном треугольнике АВР гипотенуза АВ=ВР:cos60°=2BP

В прямоугольном треугольнике ВМС гипотенуза ВС=ВМ:cos60°=2ВМ

S ∆ BMP=BM•BP•sin60°:2=10

S ∆ BMP=BM•BP•√3/4=10⇒

BM•BP•√3=40 

S ∆ ABC=2BP•2BM•sin60°:2⇒

S ∆ ABC =4 BP•BM√3:4=BM•BP•√3 

BM•BP•√3=40 (см. выше)⇒

Площадь ∆ АВС=40 ед. площади. 

-------

Заметим, что по первой лемме о высотах (Если в треугольнике ABC нет прямого угла, АА1 и ВВ1 ( здесь AР и СМ ) – его высоты, то ∆ А1В1С подобен ∆ ABC. (здесь ∆ МВР~∆ABC)   ∆АВС и МВР подобны с коэффициентом подобия k=ВР:АВ=2 

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату  коэффициента их подобия, следовательно, 

S ∆ ABC:S∆ MBP=k²=4⇒

S ∆ ABC=4 S∆ MBP=40 ед. площади

Answer 2

Дано: - Остроугольный треугольник АВС. - Точки Р и М - основания высот, опущенных из вершин А и С соответственно. - Площадь треугольника BMP равна 10. - Угол В равен 60 градусов.

Нам требуется найти площадь треугольника АВС.

Шаг 1: Найти высоту треугольника

Для начала, найдем высоту треугольника АВС. Высота обычно обозначается символом h.

Высота треугольника может быть найдена с использованием формулы: h = 2 * (Площадь треугольника / длина основания)

Из условия задачи, мы знаем, что площадь треугольника BMP равна 10. Пусть длина основания треугольника BMP равна b. Тогда, мы можем записать формулу для высоты треугольника BMP:

h = 2 * (10 / b) = 20 / b

Шаг 2: Найти длины отрезков АР и СМ

Длины отрезков АР и СМ являются высотами треугольника АВС. Поэтому, длины отрезков АР и СМ равны высоте треугольника АВС, которую мы нашли в предыдущем шаге:

Длина отрезка АР = h = 20 / b Длина отрезка СМ = h = 20 / b

Шаг 3: Найти площадь треугольника АВС

Теперь, когда у нас есть длины отрезков АР и СМ, мы можем найти площадь треугольника АВС, используя формулу:

Площадь треугольника АВС = (1/2) * (Длина отрезка АР) * (Длина отрезка СМ)

Подставляя значения, полученные в предыдущем шаге:

Площадь треугольника АВС = (1/2) * (20 / b) * (20 / b) = 200 / (b^2)

Шаг 4: Найти площадь треугольника АВС при заданном угле В

У нас есть угол В, который равен 60 градусов. Площадь треугольника АВС также может быть найдена с использованием формулы:

Площадь треугольника АВС = (1/2) * (AB) * (BC) * sin(В)

Заметим, что AB и BC - это длины оснований треугольника АВС, которые равны b.

Площадь треугольника АВС = (1/2) * b * b * sin(60)

Поскольку sin(60) равно √3 / 2, мы можем упростить формулу:

Площадь треугольника АВС = (1/2) * b * b * (√3 / 2) = (b^2 * √3) / 4

Шаг 5: Найти значение b и площадь треугольника АВС

Теперь у нас есть два выражения для площади треугольника АВС:

Площадь треугольника АВС = 200 / (b^2) Площадь треугольника АВС = (b^2 * √3) / 4

Приравнивая эти два выражения, мы можем найти значение b:

200 / (b^2) = (b^2 * √3) / 4

Умножим обе стороны на (b^2) и умножим на 4:

800 = b^4 * √3

Возводим обе стороны в квадрат:

640000 = 3 * b^8

Делим обе стороны на 3:

b^8 = 640000 / 3

Извлекаем корень 8-й степени из обеих сторон:

b = (640000 / 3)^(1/8) ≈ 6.623

Теперь, с знанием значения b, мы можем найти площадь треугольника АВС, подставив его в любое из двух выражений:

Площадь треугольника АВС ≈ 200 / (6.623^2) ≈ 4.108

Или

Площадь треугольника АВС ≈ (6.623^2 * √3) / 4 ≈ 4.108

Таким образом, площадь треугольника АВС при заданных условиях примерно равна 4.108.