Question

Известно, что треугольники подобны, и их площади относятся как 16/25. Как относятся их периметры?

Answer 1

Отношение площадей подобных треугольников = квадрату коэффициента подобия. k²= 16 /25,  к = 4/5

Answer 2

Если треугольники подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны. Пусть у нас есть два треугольника с соответствующими сторонами \(a_1, b_1, c_1\) и \(a_2, b_2, c_2\), и известно, что

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k, \]

где \(k\) - коэффициент подобия.

Площади треугольников также будут пропорциональны квадратам их соответствующих сторон. Пусть \(S_1\) и \(S_2\) - площади этих треугольников, тогда:

\[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{b_1}{b_2}\right)^2 = \left(\frac{c_1}{c_2}\right)^2 = k^2. \]

В данном случае известно, что \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{16}{25}\). Подставим это значение и решим уравнение относительно \(k\):

\[ k^2 = \frac{16}{25} \implies k = \pm\frac{4}{5}. \]

Теперь мы знаем, что соответствующие стороны подобных треугольников относятся как \(\pm\frac{4}{5}\). Периметр треугольника - это сумма всех его сторон. Пусть \(P_1\) и \(P_2\) - периметры соответствующих треугольников:

\[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{a_2 + b_2 + c_2} = \frac{k(a_2 + b_2 + c_2)}{a_2 + b_2 + c_2} = k. \]

Таким образом, периметры треугольников также относятся как \(\pm\frac{4}{5}\).