Question

Решить уравнение , разложив на множители его левую часть: cos^2(п-x)-sin(п/2-x)=0

Answer 1

$cos^2( \pi -x)-sin( \frac{ \pi }{2} -x)=0$
$cos^2x-cosx=0$
$cosx(cosx-1)=0$
$cosx=0$                      или     $cosx-1=0$
$x= \frac{ \pi }{2} + \pi n,$ $n$ ∈ $Z$      или     $cosx=1$
                                              $x=2 \pi k,$$k$ ∈ $Z$ 

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать знания о тригонометрических функциях и их свойствах. Уравнение, которое вы предоставили, является тригонометрическим и содержит функции cos и sin.

Давайте разложим данное уравнение на множители и решим его по порядку.

Разложение уравнения на множители

Имеем уравнение: cos^2(п - x) - sin(п/2 - x) = 0

Для начала, заметим, что cos^2(п - x) = (cos(п - x))^2. Мы можем использовать тригонометрическую формулу cos^2(a) = (1 + cos(2a)) / 2.

Таким образом, мы можем переписать уравнение следующим образом:

((1 + cos(2(п - x))) / 2) - sin(п/2 - x) = 0

Далее, заметим, что sin(п/2 - x) = cos(x). Мы можем использовать тригонометрическую формулу sin(a) = cos(п/2 - a).

Итак, наше уравнение становится:

((1 + cos(2(п - x))) / 2) - cos(x) = 0

Решение уравнения

Давайте продолжим решение уравнения, начиная с последнего выражения, которое мы получили:

((1 + cos(2(п - x))) / 2) - cos(x) = 0

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

1 + cos(2(п - x)) - 2cos(x) = 0

Раскроем скобку внутри cos(2(п - x)):

1 + cos(2п - 2x) - 2cos(x) = 0

Заметим, что cos(2п - 2x) = cos(-2x) = cos(2x). Это свойство косинуса - он является четной функцией.

Теперь наше уравнение имеет вид:

1 + cos(2x) - 2cos(x) = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

cos(2x) - 2cos(x) + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Для решения квадратного уравнения мы можем использовать подходящую формулу или графический метод.

Если мы заметим, что cos(x) = t, то наше уравнение примет вид:

t^2 - 2t + 1 = 0

И это уравнение является квадратным с полным квадратным трехчленом. Мы можем решить его, используя общую формулу для квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где в нашем случае a = 1, b = -2 и c = 1. Подставим эти значения в формулу:

t = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4*1*1)) / (2*1)

t = (2 ± √(4 - 4)) / 2

t = (2 ± √0) / 2

t = (2 ± 0) / 2

Таким образом, получаем два решения:

t = 1 и t = 1

Обратное подстановка

Теперь, когда мы знаем значения t, мы можем использовать обратную подстановку, чтобы найти значения cos(x):

1. При t = 1: cos(x) = t = 1 x = cos^(-1)(1) x = 0

2. При t = 1: cos(x) = t = 1 x = cos^(-1)(1) x = 0

Таким образом, у нас два решения для данного уравнения: x = 0.

Проверка

Давайте проверим наше решение, подставив x = 0 обратно в исходное уравнение:

cos^2(п - 0) - sin(п/2 - 0) = cos^2(п) - sin(п/2) = 1 - 1 = 0

Уравнение выполняется, что подтверждает наше решение.

Поэтому решение уравнения cos^2(п - x) - sin(п/2 - x) = 0, разложенного на множители, равно x = 0.