Question

Решите уравнение 3tg^2x - 2tgx -1 = 0

Answer 1

$3tg^2x - 2tgx -1 = 0\\tgx=u\\3u^2-2u-1=0\\D: 4+12=16\\u=\frac{2\pm 4}{6}\\\\u_1=1\\tgx=1\\x=\frac{\pi}{4}+\pi n, \; n\in Z;\\\\u_2=-\frac{1}{3}\\tgx=-\frac{1}{3}\\x=-arctg\frac{1}{3}+\pi n, \; n\in Z$

Answer 2

Решение уравнения 3tg^2x - 2tgx - 1 = 0

Для начала, давайте заменим тангенсы на соответствующие функции синуса и косинуса, чтобы преобразовать уравнение. Используем следующие тождества:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

Теперь, уравнение может быть переписано следующим образом:

3 * (sin^2(x) / cos^2(x)) - 2 * (sin(x) / cos(x)) - 1 = 0

Далее, приведем уравнение к общему знаменателю, чтобы избавиться от дробей. Умножим каждый член уравнения на cos^2(x):

3 * sin^2(x) - 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) - cos^2(x) = 0

Теперь, заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x) (используя тригонометрическое тождество) и сделаем соответствующие замены:

3 * (1 - cos^2(x)) - 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) - cos^2(x) = 0

Раскроем скобки и сгруппируем члены:

3 - 3 * cos^2(x) - 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) - cos^2(x) = 0

Теперь, объединим похожие члены:

-4 * cos^2(x) - 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) + 3 = 0

Теперь, давайте заменим sin(x) на √(1 - cos^2(x)), используя тригонометрическое тождество:

-4 * cos^2(x) - 2 * √(1 - cos^2(x)) * cos(x) * cos(x) + 3 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно cos(x). Теперь, решим его.

Давайте введем замену: u = cos(x). Тогда, уравнение станет:

-4 * u^2 - 2 * √(1 - u^2) * u^2 + 3 = 0

Теперь, это квадратное уравнение относительно u. Решим его с помощью дополнительного замечательного тригонометрического тождества:

√(1 - u^2) = sin(α), где α - некоторый угол.

Тогда, уравнение примет вид:

-4 * u^2 - 2 * sin(α) * u^2 + 3 = 0

Решим это уравнение численно или графически, чтобы найти значения u (cos(x)) и α (sin(α)), удовлетворяющие уравнению.

После нахождения решений, можно восстановить значения x, зная, что cos(x) = u и sin(x) = √(1 - cos^2(x)).