Question

20 балов!"" 1) sin⁡α= 9/41,sin⁡β= -40/41, 0<α<π/2, 3/2 π<β<2π.Вычислить ctg(α-β) 2) Cвести к тригонометрических функций острого угла: sin2005° 3) Доказать, что √3- 2sin10°=4 sin25°cos35°

Answer 1

Формулы сложения:
$ctg( \alpha -\beta ) = \frac{ctg ( \alpha) * ctg ( \beta ) + 1}{ctg ( \beta) - ctg ( \alpha )}= \frac{cos( \alpha - \beta )}{sin( \alpha - \beta )} =\\ =\frac{cos( \alpha )cos(\beta )+sin( \alpha )sin( \beta )}{sin( \alpha )cos(\beta )-cos( \alpha )sin( \beta )} =$

нам нужно узнать чему равны $cos( \alpha )$ и $cos( \beta )$!!!!
$\alpha$ - угол первой четверти, значит его косинус положителен
$\beta$ - угол четвертой четверти, значит и его косинус положителен.

Итак:
$cos( \alpha )= \sqrt{1-sin^2( \alpha )} = \sqrt{1- (\frac{9}{41})^2 } = \frac{ \sqrt{41^2-9^2} }{41} = \frac{40}{41}$

$cos( \beta )= \sqrt{1-sin^2( \beta )} = \sqrt{1- (-\frac{40}{41})^2 } = \frac{ \sqrt{41^2-40^2} }{41} = \frac{9}{41}$

ctg( \alpha )= \frac{cos( \alpha )}{sin( \alpha )} = \frac {\frac{40}{41} }{ \frac{9}{41} }= \frac{40}{9} 

$ctg( \beta )= \frac{cos( \beta )}{sin( \beta )} = \frac {\frac{9}{41} }{- \frac{40}{41} }=- \frac{9}{40}$

$ctg( \alpha -\beta ) = \frac{ \frac{40}{9} * (- \frac{9}{40} ) + 1}{ctg ( \beta) - ctg ( \alpha )}= \frac{0}{not\ zero}=0$
--------------------------------------------------------------
$sin(2005^0)=sin(6*360^0-155^0)=sin(-155^0)=-sin(155^0)=\\ =-sin(180^0-25^0)=-sin(25^0)$
---------------------------------------------------------------
$\sqrt{3} - 2sin(10^0)=2*[ \frac{ \sqrt{3} }{2} - sin(10^0)]=\\ =2*[2*sin(\frac{60^0-10^0}{2}) * cos(\frac{60^0+10^0}{2})]=\\ =4sin(25^0)cos(35^0)$

Answer 2

Давайте решим задачи по порядку.

1. У нас даны значения sin(α) и sin(β):

\[ \sin(\alpha) = \frac{9}{41}, \quad \sin(\beta) = -\frac{40}{41} \]

Известно, что \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi \). Давайте воспользуемся этой информацией и найдем cos(α) и cos(β), используя свойства тригонометрических функций.

\[ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \frac{40}{41} \]

\[ \cos(\beta) = -\sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = -\frac{9}{41} \]

Теперь мы можем найти ctg(α-β). Формула ctg(α-β):

\[ \cot(\alpha - \beta) = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha - \beta)} \]

Используя формулу для разности углов, \( \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \) и \( \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) \), мы можем выразить ctg(α-β) через известные значения:

\[ \cot(\alpha - \beta) = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)} \]

Подставляем значения:

\[ \cot(\alpha - \beta) = \frac{\frac{40}{41} \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) + \frac{9}{41} \cdot \left(-\frac{40}{41}\right)}{\frac{9}{41} \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) - \frac{40}{41} \cdot \frac{40}{41}} \]

\[ \cot(\alpha - \beta) = \frac{-360/41 - 360/41}{-81/41 - 1600/41} \]

\[ \cot(\alpha - \beta) = \frac{-720/41}{-1681/41} \]

\[ \cot(\alpha - \beta) = \frac{720}{1681} \]

2. Теперь рассмотрим задачу о приведении выражения \( \sin(2005^\circ) \) к тригонометрическим функциям острого угла.

Для этого воспользуемся тем, что \( \sin(\theta + n \cdot 360^\circ) = \sin(\theta) \), где \( n \) - целое число. Поскольку период синуса равен \( 360^\circ \), мы можем выразить \( 2005^\circ \) как \( 5 \cdot 360^\circ + 125^\circ \).

Таким образом,

\[ \sin(2005^\circ) = \sin(5 \cdot 360^\circ + 125^\circ) = \sin(125^\circ) \]

Теперь представим \( \sin(125^\circ) \) через сумму углов:

\[ \sin(125^\circ) = \sin(90^\circ + 35^\circ) = \cos(35^\circ) \]

3. Давайте докажем утверждение \( \sqrt{3} - 2\sin(10^\circ) = 4\sin(25^\circ)\cos(35^\circ) \).

Начнем с правой стороны и воспользуемся формулой для произведения синусов:

\[ 4\sin(25^\circ)\cos(35^\circ) = 4(\sin(25^\circ)\cos(25^\circ) + \cos(25^\circ)\sin(25^\circ)) \]

\[ = 4\sin(50^\circ) \]

Теперь рассмотрим левую сторону:

\[ \sqrt{3} - 2\sin(10^\circ) \]

Воспользуемся удвоенным углом для синуса (\( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)):

\[ 2\sin(10^\circ) = \sin(20^\circ) \]

Теперь подставим этот результат в исходное утверждение:

\[ \sqrt{3} - \sin(20^\circ) \]

Теперь воспользуемся формулой для разности синусов:

\[ \sqrt{3} - \sin(20^\circ) = \cos(70^\circ) \]

Таким образом, утверждение действительно верно:

\[ 4\sin(25^\circ)\cos(35^\circ) = \cos(70^\circ) \]