Question

Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа: x1^2+4x1x2+4x2x3+x3^2

Answer 1

Примерно так
x1^2 + 4* x1*x3 + 4* x3^2 - x2^2 – 2*x2*x3 =
(x1 + x3)^2 - x2^2 – 2*x2*x3 = Y1^2 – (x2^2 + 2*x2*x3 + x3^2) + x3^2 =
= Y1^2 – Y2^2 + Y3^2

Answer 2

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа, мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Запишите квадратичную форму в матричной форме.

Исходная квадратичная форма: Q = x1^2 + 4x1x2 + 4x2x3 + x3^2

Мы можем записать это в матричной форме, используя вектор-столбец x и матрицу A следующим образом:

Q = x^T * A * x

где x = [x1, x2, x3]^T и A - матрица коэффициентов:

A = | 1 2 0 | | 2 0 2 | | 0 2 1 |

Шаг 2: Найдите собственные значения матрицы A.

Для этого мы решаем характеристическое уравнение:

det(A - λI) = 0

где λ - собственное значение, I - единичная матрица размера 3x3.

Вычислим характеристическое уравнение:

| 1-λ 2 0 | | x1 | | 0 | | 2 -λ 2 | * | x2 | = | 0 | | 0 2 1-λ | | x3 | | 0 |

Вычислим определитель:

det(A - λI) = (1-λ)((-λ)(1-λ) - 4) - 2(2(1-λ)) = (1-λ)(λ^2 - λ - 4) - 4(1-λ) = λ^3 - 6λ^2 + 9λ

Шаг 3: Найдите собственные векторы матрицы A.

Для каждого собственного значения λ, мы решаем систему уравнений:

(A - λI) * x = 0

Для собственного значения λ = 0, решим систему уравнений:

| 1 2 0 | | x1 | | 0 | | 2 0 2 | * | x2 | = | 0 | | 0 2 1 | | x3 | | 0 |

Решением этой системы являются векторы x = [0, 0, 0]^T и x = [-2, 1, 2]^T.

Для собственного значения λ = 3, решим систему уравнений:

| -2 2 0 | | x1 | | 0 | | 2 -3 2 | * | x2 | = | 0 | | 0 2 -2 | | x3 | | 0 |

Решением этой системы являются векторы x = [0, 0, 0]^T и x = [1, 1, -1]^T.

Шаг 4: Приведите квадратичную форму к каноническому виду.

Канонический вид квадратичной формы имеет вид:

Q' = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2

где y = [y1, y2, ..., yn]^T - вектор новых переменных.

Каждая новая переменная y_i связана с исходными переменными x_i следующим образом:

y = P^T * x

где P - матрица, составленная из собственных векторов матрицы A.

Для нашего примера, мы можем записать новые переменные y в виде:

y = P^T * x = | 0 -2 | | 0 1 | | 0 2 | * | x1 | | x2 | | x3 |

Теперь мы можем записать квадратичную форму в каноническом виде:

Q' = y^T * D * y

где D - матрица, составленная из собственных значений матрицы A.

Для нашего примера, мы можем записать D в виде:

D = | 0 0 | | 0 3 |

Теперь мы можем записать квадратичную форму в каноническом виде:

Q' = y^T * D * y = | y1 y2 y3 | * | 0 0 | * | y1 | | 0 3 | | y2 | | y3 |

Q' = 0*y1^2 + 3*y2^2 + 0*y3^2

Таким образом, квадратичная форма Q = x1^2 + 4x1x2 + 4x2x3 + x3^2 после приведения к каноническому виду методом Лагранжа принимает вид:

Q' = 3*y2^2

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.