Question

(x+3)^4+(x+5)^4=16 вот пример объясните почему замена х+4? типо между 3 и 5 что ли? (x+3)^4+(x+5)^4=16 вот решение... делаем замену t=x+4 (t-1)^4+(t+1)^4=16 2t^4+12t^2+2=16 t^4+6t^2-7=0 еще делаем замену p=t^2>=0 p^2+6p-7=0 D=6^2-4*(-7)=64=8^2 p1=(-6-8)/2<0 - не подходит p2=(-6+8)/2=1 возвращаемся к t t^2=1 t1=1 t2=-1 врзвращаемся к x 1) x+4=1 и x1=-3 2) x+4=-1 и x2=-5

Answer 1

Такая замена приводит к биквадратному уравнению,т.к. (х+4) среднее арифметическое между (х+3) и (х+5).Это позволяет упростить решение.Если сделать замену например t=x+3,тогда х+5=t+2. 
В итоге получим уравнение четвертой степени,что значительно усложняет решение.

Answer 2

Давайте разберемся в вашем решении.

У вас дано уравнение: \((x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 16\).

1. Вы предложили сделать замену \(t = x + 4\). Это означает, что \(x = t - 4\).

Подставим это в уравнение:

\((t - 1)^4 + (t + 1)^4 = 16\).

2. Раскроем скобки:

\((t - 1)^4 = t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1\),

\((t + 1)^4 = t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1\).

Теперь подставим обратно в уравнение:

\[ (t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1) + (t^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1) = 16 \].

Сложим члены:

\[ 2t^4 + 12t^2 + 2 = 16 \].

3. Переносим все члены в одну сторону:

\[ 2t^4 + 12t^2 - 14 = 0 \].

4. Теперь вы предлагаете сделать еще одну замену: \(p = t^2\).

Таким образом, у вас получается:

\[ p^2 + 6p - 7 = 0 \].

5. Решаем это квадратное уравнение. Вы вывели \(D = 64\), и затем нашли два значения \(p\): \(p_1 = 1\) и \(p_2 = -7\).

6. Теперь возвращаемся к замене \(p = t^2\):

\[ t^2 = p \].

Так как \(p\) не может быть отрицательным (иначе \(t\) становится комплексным), мы берем только положительное значение \(p\).

Таким образом, \(p = 1\), что означает, что \(t^2 = 1\).

Это дает два возможных значения \(t\): \(t_1 = 1\) и \(t_2 = -1\).

7. Теперь возвращаемся к исходной переменной \(x\):

\[ t_1 = x + 4 = 1 \implies x_1 = -3 \],

\[ t_2 = x + 4 = -1 \implies x_2 = -5 \].

Итак, у вас правильные корни: \(x_1 = -3\) и \(x_2 = -5\). Ваши шаги верны, и вы правильно решили уравнение.