Question

сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрессии в 3 раза больше суммы ее членов и в 3,6 раза меньше суммы четвертых степеней ее членов. найдите второй член прогессии.

Answer 1

Из условия имеем систему:    (ОДЗ: |q|<1)

$\frac{3b_{1}}{1-q}\ =\ \frac{b_{1}^2}{1-q^2},$

$\frac{18b_{1}^2}{5(1-q^2)}\ =\ \frac{b_{1}^4}{1-q^4}.$

Или:

$\frac{b_{1}}{1+q}\ =\ 3,$

$\frac{b_{1}^2}{1+q^2}\ =\ \frac{18}{5}.$

Возведем первое в квадрат и поделим на второе:

$\frac{1+q^2}{(1+q)^2}\ =\ \frac{5}{2},\ \ \ \ 5+10q+5q^2=2+2q^2,\ \ \ \ 3q^2+10q+3=0,\ \ D=64$

$q_{1}=-\frac{1}{3},\ \ \ \ q_{2}=-3$ (не входит в ОДЗ).

Находим первый член прогрессии:

$b_{1}=3(1+q)=2.$

Тогда второй член прогрессии:

$b_{2}=b_{1}q=-\frac{2}{3}.$

Ответ: -2/3.

 

 

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q.

Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна:

S = a / (1 - q)

Сумма квадратов членов прогрессии равна:

S2 = a^2 / (1 - q^2)

Также из условия задачи известно, что:

S = 3 * S2

a / (1 - q) = 3 * (a^2 / (1 - q^2))

Упростим это уравнение, умножив обе части на (1 - q)(1 - q^2):

a * (1 - q^2) = 3 * (a^2) * (1 - q)

a - a*q^2 = 3*a^2 - 3*a^2*q

a - a*q^2 = 3*a^2 * (1 - q)

Разделим обе части на a:

1 - q^2 = 3*a*(1 - q)

1 - q^2 = 3*a - 3*a*q

q^2 - 3*a*q + 3*a - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно q. Решая его, получим два корня:

q1 = (3*a + √(9*a^2 - 12*a + 4)) / 2

q2 = (3*a - √(9*a^2 - 12*a + 4)) / 2

Также из условия известно, что:

S2 = (a^2) / (1 - q^2)

S2 = 3.6 * S

(a^2) / (1 - q^2) = 3.6 * (a / (1 - q))

Упростим это уравнение, умножив обе части на (1 - q)(1 - q^2):

(a^2) * (1 - q^2) = 3.6 * a * (1 - q)

Разделим обе части на a:

1 - q^2 = 3.6 * (1 - q)

1 - q^2 = 3.6 - 3.6*q

q^2 - 3.6*q + 2.6 = 0

Это квадратное уравнение относительно q. Решая его, получим два корня:

q3 = (3.6 + √(12.96 - 10.4)) / 2

q4 = (3.6 - √(12.96 - 10.4)) / 2

Из всех полученных корней, нам нужно найти такой q, что он лежит в интервале (-1, 1), так как q - знаменатель геометрической прогрессии, и он должен быть меньше 1 по модулю.

Подставим полученные значения q в исходное уравнение и найдем a:

Для q1:

a = (3 * q1) / (1 - q1)

Для q2:

a = (3 * q2) / (1 - q2)

Для q3:

a = (3.6 * q3) / (1 - q3)

Для q4:

a = (3.6 * q4) / (1 - q4)

Таким образом, найдя значения a для каждого из корней q, мы сможем найти второй член прогрессии.