Question

Помогите решить: 1) lg x + lg (x - 3) < 1; 2) lg x < lg 3;

Answer 1

1) lg x+lg (x-3)=lg[x*(x-3)]<1, x*(x-3)<10¹=10, x²-3*x<10, x²-3*x-10<0, (x+2)*(x-5)<0. Решаем это неравенство методом интервалов. Если x<-2, то (x+2)*(x-5)>0. Если -2<x<5, то (x+2)*(x-5)<0. Если x>5, то (x+2)*(x-5)>0. Значит, этому квадратному неравенству удовлетворяет решение x∈(-2;5). Однако так как должно быть x>0 и x-3>0 (выражение под знаком логарифма должно быть положительным), то из неравенства x-3>0 следует  x>3. Значит, x∈(3;5). Ответ: x∈(3;5).

2) lg x-lg 3=lg(x/3)<0, x/3<10⁰=1, x<3. Но так как ввиду замечания в предыдущем № должно быть x>0, то x∈(0;3). Ответ: x∈(0;3).

Answer 2

1) Для решения неравенства 1) можно использовать свойство логарифма, согласно которому lg(a) + lg(b) = lg(a*b). Также можно использовать свойство логарифма, согласно которому lg(a/b) = lg(a) - lg(b).

Исходное неравенство: lg(x) + lg(x - 3) < 1.

Применим первое свойство логарифма: lg(x*(x - 3)) < 1.

Упростим выражение внутри логарифма: x*(x - 3) < 10.

Раскроем скобки: x^2 - 3x < 10.

Перенесем все в одну часть: x^2 - 3x - 10 < 0.

Факторизуем квадратное уравнение: (x - 5)(x + 2) < 0.

Находим интервалы, где выражение меньше нуля:

1) x - 5 < 0 и x + 2 > 0, т.е. x < 5 и x > -2. 2) x - 5 > 0 и x + 2 < 0, т.е. x > 5 и x < -2.

Итак, решение неравенства 1) будет x < -2 или x > 5.

2) Для решения неравенства 2) можно использовать свойство логарифма, согласно которому lg(a) < lg(b) если a < b.

Исходное неравенство: lg(x) < lg(3).

Используя указанное свойство логарифма, получаем: x < 3.

Итак, решение неравенства 2) будет x < 3.