Question

Верно ли,что четырехугольник,у которого диагонали взаимно-перпендикулярны,является ромбом?

Answer 1

Нет, неверно. Смотрите рисунок.
Возьмите два разных равнобедренных треугольника с равными основаниями и сложите их по этим основаниям вместе. Вы получите четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями, но, очевидно, не являющийся ромбом.

Answer 2

Да, верно, что четырехугольник, у которого диагонали взаимно-перпендикулярны, является ромбом.

Рассмотрим данное утверждение более подробно. Ромбом называется четырехугольник, у которого все стороны равны между собой. Также ромб обладает свойством, что диагонали взаимно перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом.

Докажем, что четырехугольник с взаимно-перпендикулярными диагоналями является ромбом.

Пусть ABCD - четырехугольник, у которого диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу. Для удобства обозначим точки пересечения диагоналей M и N.

Так как диагонали перпендикулярны, то AM перпендикулярна BM, а AN перпендикулярна DN. Также известно, что диагонали пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники AMO и BNO. Они являются прямоугольными, так как углы AMO и BNO равны 90 градусам (по условию). Кроме того, сторона AM равна стороне BM (так как это ромб), а сторона AN равна стороне DN (также по свойствам ромба).

Таким образом, треугольники AMO и BNO являются прямоугольными и равнобедренными, так как две стороны в них равны. Значит, углы AMO и BNO также равны между собой.

Из этого следует, что углы AOM и BON равны между собой. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то углы AOB и MON также равны между собой.

Таким образом, у нас получается, что углы AOB и MON равны между собой, а значит, треугольники AOB и MON подобны друг другу.

Из подобия треугольников следует, что стороны AO и MO пропорциональны сторонам BO и NO. Но так как стороны AO и BO равны между собой (это ромб), то и стороны MO и NO равны между собой.

Таким образом, получаем, что все стороны четырехугольника ABCD равны между собой, что является определением ромба.

Таким образом, если у четырехугольника диагонали взаимно-перпендикулярны, то он является ромбом.