Question

Помогите пожалуйста решить : 2 * 16^cosx + 4^cosx - 1 =0

Answer 1

4^cosx=t
16^cosx=(4^cosx)²=t²
Квадратное уравнение
2t²+t-1=0
имеет корни
t=-1 ; t=1/2

4^cosx =-1 - уравнение не имеет корней, показательная функция принимает всегда положительные значения и не может равняться отрицательному числу
4^cosx=1/2
2^2cos=2⁻¹
2cosx=-1
cosx=-1/2
x=± arccos(-1/2)+2πn, n∈Z
x=± (π-arccos1/2)+2πn, n∈Z

x=± (2π/3)+2πn, n∈Z

Answer 2

Дано уравнение: 2 * 16^cos(x) + 4^cos(x) - 1 = 0.

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть t = 4^cos(x). Тогда уравнение примет вид: 2t^2 + t - 1 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение вида at^2 + bt + c = 0, где a = 2, b = 1, c = -1.

Сначала найдем дискриминант D: D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * -1 = 1 + 8 = 9.

Так как D > 0, у уравнения есть два различных вещественных корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения: t = (-b ± √D) / 2a.

Таким образом, имеем: t1 = (-1 + √9) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 4/4 = 1.

t2 = (-1 - √9) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = -2/4 = -1/2.

Теперь найдем значения cos(x), используя замену t = 4^cos(x).

Для t1 = 1: 4^cos(x) = 1. Так как 4^0 = 1, то получаем cos(x) = 0, что означает, что x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Для t2 = -1/2: 4^cos(x) = -1/2. Так как 4^cos(x) всегда положительно, то уравнение не имеет решений в этом случае.

Итак, решение уравнения 2 * 16^cos(x) + 4^cos(x) - 1 = 0: x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Answer 3

Рассмотрим уравнение 2 * 16^cos(x) + 4^cos(x) - 1 = 0.

Чтобы решить это уравнение, мы можем ввести замену, чтобы получить уравнение в новой переменной. Пусть y = 16^cos(x). Тогда уравнение примет вид:

2y + y^2 - 1 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно y. Мы можем решить его с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Решение с помощью квадратного трехчлена

Для решения квадратного уравнения вида ay^2 + by + c = 0, можно использовать формулу квадратного трехчлена:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В нашем случае a = 1, b = 2 и c = -1. Подставим эти значения в формулу:

y = (-2 ± √(2^2 - 4*1*(-1))) / (2*1).

y = (-2 ± √(4 + 4)) / 2.

y = (-2 ± √8) / 2.

y = (-2 ± 2√2) / 2.

y = -1 ± √2.

Таким образом, у нас есть два возможных значения y: y = -1 + √2 и y = -1 - √2.

Обратная замена

Теперь, чтобы найти значения x, мы должны вернуться к исходному уравнению и решить его относительно x, используя найденные значения y.

Для y = 16^cos(x), мы можем записать следующее:

-1 + √2 = 16^cos(x),

и

-1 - √2 = 16^cos(x).

Решение уравнения

Чтобы решить это уравнение, мы можем применить логарифмы с основанием 16 к обеим сторонам уравнения:

log16(-1 + √2) = cos(x),

и

log16(-1 - √2) = cos(x).

Используя свойство логарифма, что log_a(b^c) = c * log_a(b), мы можем переписать уравнения следующим образом:

cos(x) = log16(-1 + √2),

и

cos(x) = log16(-1 - √2).

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем применить обратную функцию косинуса (arccos) к обеим сторонам уравнения:

x = arccos(log16(-1 + √2)),

и

x = arccos(log16(-1 - √2)).

Это даст нам два возможных значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение может содержать значения, которые выходят за пределы допустимого диапазона для функции арккосинуса. Также, если вы используете калькулятор для вычисления значений, убедитесь, что он настроен на нужные единицы измерения для угла (радианы или градусы).