Question

При каких значениях параметра b система уравнений имеет единственное решение? Система x^2+y^2=b^2 2x+y=1

Answer 1

Решение в файле.
Решение в файле.
Решение в файле.

Answer 2

График первой функции - окружность с центром в начале координат и радиусом b. График второй функции - прямая.
Система имеет единственное решение тогда, когда графики имеют только одну точку пересечения.
$\sqrt{b^2-x^2}=1-2x\\b^2-x^2=1-4x+4x^2\\5x^2-4x+1-b^2=0$
Графики будут иметь только одну общую точку, если последнее уравнение имеет одно решение, т.е. D=0.
$D=16-20(1-b^2)=16-20+20b^2=20b^2-4=0\\20b^2=4\\b^2=\frac15\\b=\pm\frac1{\sqrt5}$

Answer 3

Conditions for a Unique Solution in the Given System of Equations

To determine the values of the parameter b for which the system of equations x^2 + y^2 = b^2 and 2x + y = 1 has a unique solution, we need to analyze the equations and their relationship.

Let's break down the problem step by step:

1. The first equation, x^2 + y^2 = b^2, represents a circle centered at the origin with radius b. The equation implies that the sum of the squares of x and y is equal to b^2.

2. The second equation, 2x + y = 1, represents a straight line.

To find the values of b for which the system has a unique solution, we need to determine the conditions under which the line intersects the circle at exactly one point.

By substituting y = 1 - 2x from the second equation into the first equation, we can solve for x:

x^2 + (1 - 2x)^2 = b^2

Expanding and simplifying the equation, we get:

5x^2 - 4x - (b^2 - 1) = 0

This is a quadratic equation in x. For the system to have a unique solution, the discriminant of the quadratic equation must be equal to zero. The discriminant is given by:

D = b^2 - 4ac

In this case, a = 5, b = -4, and c = -(b^2 - 1). Setting the discriminant equal to zero, we have:

b^2 - 4(5)(-(b^2 - 1)) = 0

Simplifying the equation, we get:

b^2 + 20b^2 - 20 = 0

Combining like terms, we have:

21b^2 - 20 = 0

Solving this quadratic equation for b, we find:

b = ±√(20/21)

Therefore, the system of equations x^2 + y^2 = b^2 and 2x + y = 1 has a unique solution when b = ±√(20/21).

Please note that the above solution is based on the provided search results and the equations given.

Answer 4

Для того, чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов был отличен от нуля. В данном случае, матрица коэффициентов имеет вид:

$$ \begin{pmatrix} 2x & 2y \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$

Определитель этой матрицы равен:

$$ \Delta = 2x \cdot 1 - 2y \cdot 2 = 2x - 4y $$

Чтобы он был отличен от нуля, необходимо, чтобы $x \neq 2y$. Подставляя второе уравнение системы, получаем:

$$ x \neq 2y \Leftrightarrow x \neq 2(1 - 2x) \Leftrightarrow x \neq -\frac{1}{2} $$

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение при всех значениях параметра $b$, кроме тех, при которых $x = -\frac{1}{2}$. Для того, чтобы найти эти значения, нужно решить уравнение:

$$ x^2 + y^2 = b^2 $$

при $x = -\frac{1}{2}$. Подставляя второе уравнение системы, получаем:

$$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - 2 \cdot -\frac{1}{2}\right)^2 = b^2 \Leftrightarrow \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = b^2 \Leftrightarrow b^2 = \frac{10}{4} \Leftrightarrow b = \pm \frac{\sqrt{10}}{2} $$

Ответ: система уравнений имеет единственное решение при всех значениях параметра $b$, кроме $\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$.