Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 3-4sin2t и вычислите его значение, если t=pi/12

Answer 1

Решение:
 -1≤ sin2t≤1 , -4≤ -4sin2t ≤4, 3-4≤ 3-4sin2t≤4+3 , -1≤3-4sin2t≤ 7.
  При t=π/12  получаем 3-4sin2*(π/12)=3-4*sin π/6=3-4*1/2=3-2=1.
  Ответ: Наим. зн. равно -1; наибольшее зн. равно 7.
              При t=π/12 его значение равно 1.

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать выражение 3-4sin^2(t), где t = π/12.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения выражения:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения, мы можем использовать производные.

Сначала найдем первую производную выражения:

d(3-4sin^2(t))/dt = -8sin(t)cos(t)

Затем найдем вторую производную выражения:

d^2(3-4sin^2(t))/dt^2 = -8(cos^2(t)-sin^2(t))

Теперь найдем критические точки, где первая производная равна нулю или не существует:

-8sin(t)cos(t) = 0

sin(t) = 0 или cos(t) = 0

Из уравнения sin(t) = 0 получаем две критические точки: t = 0 и t = π.

Из уравнения cos(t) = 0 получаем еще две критические точки: t = π/2 и t = 3π/2.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, мы можем использовать вторую производную:

d^2(3-4sin^2(t))/dt^2 = -8(cos^2(t)-sin^2(t))

Подставим каждую из критических точек в это уравнение:

d^2(3-4sin^2(0))/dt^2 = -8(cos^2(0)-sin^2(0)) = -8(1-0) = -8 < 0

d^2(3-4sin^2(π/2))/dt^2 = -8(cos^2(π/2)-sin^2(π/2)) = -8(0-1) = 8 > 0

d^2(3-4sin^2(π))/dt^2 = -8(cos^2(π)-sin^2(π)) = -8(1-0) = -8 < 0

d^2(3-4sin^2(3π/2))/dt^2 = -8(cos^2(3π/2)-sin^2(3π/2)) = -8(0-1) = 8 > 0

Из этих результатов видно, что t = π/2 и t = 3π/2 являются точками минимума, а t = 0 и t = π являются точками максимума.

Вычисление значений выражения:

Теперь мы можем вычислить значения выражения 3-4sin^2(t) при t = π/12.

Подставим t = π/12 в выражение:

3-4sin^2(π/12) = 3-4(sin(π/12))^2

Вычислим значение sin(π/12):

sin(π/12) ≈ 0.258819

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

3-4(0.258819)^2 ≈ 2.779

Таким образом, значение выражения 3-4sin^2(π/12) при t = π/12 составляет примерно 2.779.

Итак, наибольшее значение выражения равно примерно 3, а наименьшее значение равно примерно 2.779.