Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 6 — остаток 1.

Answer 1

Это число 25
1)25/5=5 (делится на 5)
2)25/6=4 (дает остаток 1)

Answer 2

Нахождение наименьшего натурального числа с заданными остатками

Для нахождения наименьшего натурального числа, которое при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 6 также дает остаток 1, мы можем воспользоваться методом китайской теоремы об остатках. Этот метод позволяет находить решения системы сравнений.

Сначала мы можем представить данную систему сравнений в виде: \[ x \equiv 1 \pmod{5} \] \[ x \equiv 1 \pmod{6} \]

Решение:

1. Решение методом перебора:

Мы можем начать с наименьшего общего кратного 5 и 6, которое равно 30, и последовательно проверять числа, начиная с 1, пока не найдем число, удовлетворяющее обоим условиям.

2. Решение методом китайской теоремы об остатках:

Мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках для нахождения общего решения этой системы.

Для этого нам потребуется найти такие целые числа \( b_1 \) и \( b_2 \), что \( 5b_1 + 6b_2 = 1 \). Затем мы можем выразить решение в виде: \[ x \equiv (1 \cdot 6 \cdot b_2 + 1 \cdot 5 \cdot b_1) \pmod{30} \]

После нахождения \( b_1 \) и \( b_2 \) мы сможем найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее обоим условиям.

Какой метод вы предпочли бы использовать для нахождения решения данной задачи?