Question

Помогите решить примеры (очень подробно с меня 60 баллов) : 1)x²+2x-x-2=0 (через дискриминант) 2)(x-2)²(x-3)=12(x-2) 3)(x-2)²(x-3)=20(x-2) 4)x(x²+2x+1)=2(x+1) 5) x³+2x²=9x+18 6)(x-4)²+ (x+4)²=(x+2)²-2x+2

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Давайте решим каждый из данных примеров по очереди:

1) Решение уравнения x² + 2x - x - 2 = 0 (через дискриминант): Сначала объединим подобные слагаемые: x² + x - 2 = 0. Теперь, чтобы решить это уравнение через дискриминант, нужно записать его в канонической форме ax² + bx + c = 0. В нашем случае a = 1, b = 1 и c = -2. Дискриминант вычисляется по формуле D = b² - 4ac. Подставим значения в формулу: D = 1² - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9. Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два действительных корня.

Далее, чтобы найти корни уравнения, используем формулу x = (-b ± √D) / (2a). Подставим значения: x₁ = (-1 + √9) / (2*1) = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1, x₂ = (-1 - √9) / (2*1) = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2.

Итак, корни уравнения x² + 2x - x - 2 = 0 равны x₁ = 1 и x₂ = -2.

2) Решение уравнения (x-2)²(x-3) = 12(x-2): Начнем с раскрытия скобок: (x² - 4x + 4)(x - 3) = 12x - 24. Раскроем скобки: x³ - 3x² - 4x² + 12x + 4x - 12 = 12x - 24. Объединим подобные слагаемые: x³ - 7x² + 16x - 12 = 12x - 24. Перенесем все слагаемые влево: x³ - 7x² + 16x - 12 - 12x + 24 = 0. Упростим выражение: x³ - 7x² + 4x + 12 = 0.

Решить это уравнение можно различными методами, например, методом подстановки или использованием графика. В данном случае мы воспользуемся графиком для нахождения корней.

График данной функции будет иметь точку пересечения с осью x в точке x = 2. Таким образом, один из корней уравнения x³ - 7x² + 4x + 12 = 0 равен x = 2.

Чтобы найти остальные корни, разделим уравнение на (x - 2): x³ - 7x² + 4x + 12 = (x - 2)(x² - 5x - 6). Получаем квадратное уравнение x² - 5x - 6 = 0. Решим его с помощью дискриминанта, как в первом примере.

Дискриминант D = (-5)² - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49. Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два действительных корня.

Используя формулу x = (-b ± √D) / (2a), получаем: x₁ = (5 + √49) / (2*1) = (5 + 7) / 2 = 12 / 2 = 6, x₂ = (5 - √49) / (2*1) = (5 - 7) / 2 = -2 / 2 = -1.

Итак, корни уравнения (x-2)²(x-3) = 12(x-2) равны x₁ = 2, x₂ = 6 и x₃ = -1.

3) Решение уравнения (x-2)²(x-3) = 20(x-2): По аналогии с предыдущим примером, раскроем скобки и упростим выражение: x³ - 7x² + 16x - 12 = 20x - 40. Перенесем все слагаемые влево: x³ - 7x² - 4x + 28 = 0.

Решим это уравнение, используя тот же метод, что и во втором примере. График данной функции будет иметь точку пересечения с осью x в точке x = 2. Таким образом, один из корней уравнения x³ - 7x² - 4x + 28 = 0 равен x = 2.

Разделим уравнение на (x - 2): x³ - 7x² - 4x + 28 = (x - 2)(x² - 5x - 14). Получаем квадратное уравнение x² - 5x - 14 = 0. Решим его с помощью дискриминанта, как в первом примере.

Дискриминант D = (-5)² - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81. Так как дискриминант больше нуля, у нас есть два действительных корня.

Используя формулу x = (-b ± √D) / (2a), получаем: x₁ = (5 + √81) / (2*1) = (5 + 9) / 2 = 14 / 2 = 7, x₂ = (5 - √81) / (2*1) = (5 - 9) / 2 = -4 / 2 = -2.

Итак, корни уравнения (x-2)²(x-3) = 20(x-2) равны x₁ = 2, x₂ = 7 и x₃ = -2.

4) Решение уравнения x(x² + 2x + 1) = 2(x + 1): Раскроем скобки и упростим выражение: x³ + 2x² + x = 2x + 2. Перенесем все слагаемые влево: x³ + 2x² + x - 2x - 2 = 0. Упростим выражение: x³ + 2x² - x - 2 = 0.

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом подстановки или графиком. В данном случае воспользуемся графиком для нахождения корней.

График данной функции будет иметь точку пересечения с осью x в точке x = -1. Таким образом, один из корней уравнения x³ + 2x² - x - 2 = 0 равен x = -1.

Чтобы найти остальные корни, разделим уравнение на (x + 1): x³ + 2x² - x - 2 = (x + 1)(x² + x - 2). Перепишем второй множитель в виде двух скобок: (x + 1)(x + 2)(x - 1).

Теперь у нас есть три множителя, которые могут быть равны нулю: x + 1 = 0, x + 2 = 0 и x - 1 = 0.

Решим каждое уравнение отдельно: x