Question

x^2+xy+y^2-2x+2y+4=0. Решить уравнение.

Answer 1

Приведено уравнение кривой второго порядка с коэффициентами:

а(11) = 1;  а(12) = 1/2; а(22) = 1; а(13) = -1; а(23) = 1;  а(33) = 4.

Посчитаем главный определитель:

1       1/2       -1           

1/2     1          1     =  1*| 1   1|  - (1/2)* | 1/2   1 |  +  (-1)*| 1/2   1 | =         

-1       1          4             | 1   4|               | -1     4  |            | -1     1 |

 

= 4 -(3/2) - (3/2) = 1 > 0

Итак D = 1 (>0).

Теперь посчитаем d:

d = a(11)*a(22) - a(12)^2 = 1 - (1/4) = 3/4 (>0)

Теперь I:

I= a(11) + a(22) = 2 (>0).

Это классические инварианты кривой второго порядка, позволяющие привести уравнение к каноническому виду и судить о форме кривой.

В нашем случае D не равно 0 и D*I > 0  - значит это мнимый эллипс (ни одной действительной точки)

Ответ: нет действительных решений.

Answer 2

Решение уравнения x^2 + xy + y^2 - 2x + 2y + 4 = 0

Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом завершения квадрата или использовать общий подход к решению уравнений второй степени по двум переменным.

Метод завершения квадрата

1. Сначала перепишем уравнение в виде суммы квадратов: x^2 - 2x + y^2 + y + 4 = -xy 2. Затем завершим квадрат для части, содержащей переменную x: x^2 - 2x + 1 + y^2 + y + 4 = -xy + 1 (x - 1)^2 + y^2 + y + 4 = -xy + 1 3. Добавим к обеим сторонам уравнения выражение, завершающее квадрат для переменной y: (x - 1)^2 + y^2 + y + 1^2 + (1/2)^2 + 4 = -xy + 1 + (1/2)^2 (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 + 15/4 = -xy + 5/4 4. Преобразуем уравнение для переменной x: (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = -xy + 5/4 - 15/4 (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = -xy - 10/4 (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = -xy - 5/2

Таким образом, уравнение x^2 + xy + y^2 - 2x + 2y + 4 = 0 после завершения квадрата принимает вид: (x - 1)^2 + (y + 1/2)^2 = -xy - 5/2

Общий подход к решению уравнений второй степени по двум переменным

Если мы рассматриваем уравнение вида Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, то можно воспользоваться формулой дискриминанта для уравнения второй степени: D = B^2 - 4AC

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В нашем случае A = 1, B = 1, C = 1. Подставим значения в формулу дискриминанта: D = 1^2 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3

Таким образом, уравнение x^2 + xy + y^2 - 2x + 2y + 4 = 0 не имеет действительных корней.

Если у вас есть дополнительные вопросы или если вы хотите уточнить что-то еще, пожалуйста, дайте мне знать!