Question

Пожалуйста помогите решить :DDD Треугольники со сторонами a, b, c и b, c, d подобны (длины сторон указаны в соответствующем порядке). Доказать, что коэффициент подобия не может равняться 2.

Answer 1

Если бы треугольник со сторонами а, b, c был подобен треугольнику со сторонами b,c,d с коэффициентом подобия 2, то a=2b, b=2c, откуда а=4с, но это противоречит неравенству треугольника, согласно которому должно быть a<b+c, т.е. 4c<2c+c, откуда 4<3.

Аналогично, если бы второй треугольник был подобен первому с коэффициентом 2, то b=2a, c=2b=4a, но по неравенству треугольника должно быть c<a+b, т.е. 4a<3a - противоречие.

Answer 2

Для доказательства того, что коэффициент подобия треугольников с указанными сторонами не может равняться 2, мы можем использовать свойство подобных треугольников, которое гласит: "Если два треугольника подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны".

Предположим, что треугольники ABC и BCD подобны с коэффициентом подобия 2. По свойству подобия, мы можем записать следующие пропорции между сторонами:

AB/BC = BC/CD = AC/BD = 2

Из первой пропорции, мы можем выразить AB через BC:

AB = 2BC

Теперь, заметим, что вторая пропорция говорит нам, что BC/CD = 2. Мы можем заменить BC в этой пропорции на выражение 2BC:

(2BC)/CD = 2

Упрощая выражение, получаем:

BC/CD = 1

Это означает, что BC равна CD. Теперь мы можем использовать третью пропорцию, чтобы выразить AC через BD:

AC/BD = 2

Заменяя BC на CD в этой пропорции, получаем:

AC/CD = 2

Также заметим, что BC = CD, поэтому мы можем заменить AC/CD на AC/BC:

AC/BC = 2

Теперь у нас есть две пропорции: BC/CD = 1 и AC/BC = 2. Объединив их, мы можем записать:

(AC/BC) * (BC/CD) = 2 * 1

AC/CD = 2

Теперь мы можем заменить AC/CD на AC/BC, используя первую пропорцию:

AC/BC = 2

Но это означает, что AC равна 2BC. Мы уже знаем, что AB = 2BC, поэтому это означает, что AC = AB.

Однако, если AC = AB, то треугольник ABC будет равнобедренным, а треугольник BCD будет прямоугольным, так как BC = CD. Это противоречит изначальному условию, что треугольники ABC и BCD подобны.

Таким образом, мы доказали, что коэффициент подобия треугольников с указанными сторонами не может равняться 2.