Question

Найдите наименьшее значение функции y=(2-x)×e^3-x

Answer 1

План действий:
1) Ищем производную;
2) приравниваем её к нулю и решаем получившееся уравнение;
3) исследуем смену знаков у  получившихся корней на числовой прямой;
4) пишем ответ.
Начали?
1)у' = (2-x)'*e³⁻ˣ + (2 -x) *(e³⁻ˣ)' = -1*e³⁻ˣ  - (2-x)e³⁻ˣ =
= e³⁻ˣ(-1 -2 +x) = e³⁻ˣ(-3+x)
2) e³⁻ˣ(-3+x) = 0
e³⁻ˣ ≠ 0, значит, -3 +х = 0
                              х = 3
3) -∞                 3                +∞
               -                   +              это знаки производной
4)х = 3  это точка минимума
5) min у = (2 -3)*e³⁻³ =-1*1 = -1
Ответ: -1

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y=(2-x)×e^(3-x), мы должны найти критические точки функции, где её производная равна нулю или не существует. Затем мы сравним значения функции в этих точках, чтобы найти наименьшее значение.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y=(2-x)×e^(3-x) по переменной x. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

Для первого слагаемого (2-x) производная равна -1, так как производная константы равна 0, а производная x равна 1.

Для второго слагаемого e^(3-x) нам понадобится применить правило дифференцирования сложной функции. Производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x).

В нашем случае внешняя функция f(x) = e^x, а внутренняя функция g(x) = 3-x. Производная внешней функции f'(x) = e^x, а производная внутренней функции g'(x) = -1.

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

(dy/dx) = (-1) * e^(3-x) + (2-x) * (-e^(3-x))

Упрощая это выражение, получаем:

(dy/dx) = -e^(3-x) + (x-2)e^(3-x)

Нахождение критических точек

Теперь найдем критические точки функции, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

-e^(3-x) + (x-2)e^(3-x) = 0

Мы можем упростить это уравнение, разделив все слагаемые на e^(3-x):

-1 + (x-2) = 0

x - 3 = 0

x = 3

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 3.

Определение наименьшего значения

Теперь проверим значения функции y=(2-x)×e^(3-x) в найденных критических точках и на бесконечностях, чтобы найти наименьшее значение.

Подставим x = 3 в функцию:

y = (2-3) * e^(3-3) = -1 * e^0 = -1 * 1 = -1

Таким образом, наименьшее значение функции y=(2-x)×e^(3-x) равно -1.