Question

Укажите, сколько всего действительных корней имеет уравнение: x^3 - 3|x| = 0 расшифровочка: x^3 - икс в третей степени -3|x| - минус три модуль икс.

Answer 1

Раскрываем модуль:
Если x≥0:
$x^3-3x=0 \\\ x(x^2-3)=0 \\\ x(x- \sqrt{3} )(x+ \sqrt{3} )=0 \\\ x_1=0; \ x_2= \sqrt{3}; \ x_3=-\sqrt{3}$
Так как мы раскрыли модули с условием x≥0, то х₃ не удовлетворяет исходному уравнению. На интервале x≥0 уравнение имеет 2 корня.
Если x<0:
$x^3+3x=0 \\\ x(x^2+3)=0 \\\ x=0$
Единственный корень не удовлетворяет условию x<0. На интервале x<Z0 уравнение не имеет корней.
Ответ: 2 корня: 0 и $\sqrt{3}$

Answer 2

Для решения данного уравнения x^3 - 3|x| = 0, мы должны рассмотреть два случая: когда значение x положительное и когда оно отрицательное.

Положительное значение x:

Когда x > 0, уравнение принимает вид x^3 - 3x = 0. Мы можем факторизовать это уравнение, вынеся общий множитель x: x(x^2 - 3) = 0. Таким образом, у нас есть два возможных значения x: x = 0 и x^2 - 3 = 0.

Решим второе уравнение x^2 - 3 = 0, найдя квадратные корни: x^2 = 3 x = ±√3

Таким образом, когда x > 0, уравнение имеет три действительных корня: x = 0, x = √3 и x = -√3.

Отрицательное значение x:

Когда x < 0, уравнение принимает вид x^3 + 3x = 0. Опять же, мы можем факторизовать это уравнение, вынеся общий множитель x: x(x^2 + 3) = 0. Таким образом, у нас есть два возможных значения x: x = 0 и x^2 + 3 = 0.

Решим второе уравнение x^2 + 3 = 0, найдя квадратные корни: x^2 = -3 x = ±√(-3) x = ±i√3 (где i - мнимая единица)

Таким образом, когда x < 0, уравнение имеет два действительных корня: x = 0 и x = ±i√3.

Объединяя результаты из обоих случаев, мы получаем, что уравнение x^3 - 3|x| = 0 имеет пять действительных корней: x = 0, x = √3, x = -√3, x = i√3 и x = -i√3.